Processus stochastique — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Processus stochastique

Bonjour
J'ai fait une annale de processus stochastique et j'aurais une question s'il vous plaît. Voici le sujet : (désolé il est en anglais).
$\mathrm{d} X_{t}=\frac{1}{1+X_{t}^{2}} \mathrm{~d} B_{t}-\frac{1}{2\left(1+X_{t}^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} t, \quad X_{0}=0 $ et $ B_{t}$ est un $BM$.
1. Justify the existence and uniqueness of a solution $X=\left(X_{t}\right)_{t \geq 0}$.
2. Prove that $M:=\left(e^{X_{t}}\right)_{t \geq 0}$ is a local martingale, and explicitate its quadratic variation.
3. In this question, we fix $a, b>0$, and set $T=T_{-a} \wedge T_{b}$ where $T_{r}:=\inf \left\{t \geq 0: X_{t}=r\right\}$.
(a) Prove that $\left(M_{t \wedge T}\right)_{t \geq 0}$ is a square-integrable martingale.
(b) Justify the following identity:
$\forall t \geq 0, \quad \mathbb{E}\left[M_{t \wedge T}^{2}\right]=1+\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t \wedge T} \frac{e^{2 X_{u}}}{\left(1+X_{u}^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} u\right]$.

Pour les questions 1, 2 et 3a), il n'y a aucune difficulté. Pour la 3b) j'ai voulu utiliser l'isométrie d’Itô.
Ainsi voici ma rédaction.
$$ \begin{aligned} d M_t & =e^{X_t} \cdot\left[\frac{1}{1+X_t^2} d B_t+\frac{-1}{2\left[1+X_t\right]^2} d t+\frac{1}{2} \times \frac{1}{\left(1+X_t\right)^2} d t\right] \\ & =e^{X_t} \times \frac{1}{1+X_t^2} d B_t .\end{aligned} $$ Ainsi, $M_t=1+\int_0^t \frac{e^{X_u}}{1+X_u^2} d B_u $.
Ainsi, d'après l'isométrie d’Itô, on a :
$\begin{aligned} \mathbb{E}\left[(M_{t \wedge T}-1)^2\right] &= \mathbb{E}\left(\int_0^{t \wedge T} \frac{e^{2 X_{u}}}{(1+X_{u}^{2})^2} \, du\right) \\ &\text{ or } \\ \mathbb{E}\left[(M_{t \wedge T}-1)^2\right] &= \mathbb{E}\left[(M_{t \wedge T})^2-1\right],\end{aligned}$ 
car $\left(M_{t \wedge T}\right)_t$ est une martingale. D'où le résultat.

Cependant pour utiliser l'isométrie d’Itô, on doit vérifier que : 
$ M_{t \wedge T} \in \mathbb{M}_2$ c'est-à-dire que $\forall t \geqslant 0,\ \mathbb{E}\left[\int_0^t M_{t \wedge T}{ }^2 d t\right]<+\infty $.
Je ne sais pas comment montrer cela, on sait que $ M_{t \wedge T} \le 1+\frac{e^a}{1+b^2}\int_{0}^{t \wedge T} \mathrm{d}B_{t} = 1+\frac{e^a}{1+b^2}B_{t \wedge T}$, je pense qu'il faut se servir de ça mais je ne vois pas comment.

Rectification : Je ne suis vraiment pas sûr de ma dernière égalité,$\int_{0}^{t \wedge T} \mathrm{d}B_{t}=B_{t \wedge T}$, je pense qu'elle est en fait fausse.
Merci d'avance pour vos réponses.

[Kiyoshi Itô (1915-2008) prend toujours une majuscule. AD]
Mots clés:

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Bonjour, je n'avais pas vu ta question, mieux vaut tard que jamais. 
    Tu as dis que tu as réussi à faire la 3a), c'est quoi la traduction de la 3a) (en maths) ? Est-ce que tu vois un lien avec la question que tu te poses ?
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour, merci de ta réponse.

    Alors pour la 3a), juste je résume rapidement comment j'ai fait. $M_{t \wedge T}$ est borné par $e^{b}$ donc on a que $\forall t \geq 0, \quad \mathbb{E}\left[\sup _{s \in[0, t]}\left|M_{s \wedge T}\right|\right]<\infty$. Donc $M_{s \wedge T}$ est une martingale. Elle est notamment square integrable car elle est bornée.

    Mathématiquement ça signifie que ce processus stochastique est fair, que $M$ est intégrable et adapté. De plus,  $\mathbb{E}\left[M_{s \wedge T}^{2}\right]<\infty$.
    Je ne comprends pas comment cela peut m'aider par contre, désolé.
  • Modifié (November 2023)
    En fait, en relisant, si $M_{t \wedge T} \le e^{b}$ alors on a évidemment $\forall t \geqslant 0,\ \mathbb{E}\left[\int_0^t M_{t \wedge T}{ }^2 d t\right]<+\infty $. C'était sous mes yeux, my bad.

    Par contre, j'avoue ne pas toujours voir où tu veux en venir @Barjovrille.
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    tu montres que ton processus est de carré intégrable, par contre tu ne montres pas que c'est une martingale ($(X_t)$ est une martingale si pour $s,t$ avec $s<t$ on a $E(X_t/\mathcal{F}_s)=X_s$). J'imagine que c'est ce que voulait dire @Barjovrille
    Pour ta remarque, oui on a bien $\int_0^tdB_u=B_t$ (et en général $\int_0^tdX_u=X_t-X_0$ ).
    Bonne journée
    F
  • Bonjour, je voulais dire que si tu as réussi à prouver que $\mathbb{E}\left[M_{s \wedge T}^{2}\right]<\infty$ alors avec Fubini tu peux conclure que 
    $\forall t \geqslant 0,\ \mathbb{E}\left[\int_0^t M_{s \wedge T}{ }^2 d s\right]<+\infty$ (attention quand tu écris à ne pas faire de conflit d'écriture avec la variable muette d'intégration et les autres lettres). Tu avais déjà utilisé cette technique dans un autre fil. Mais si tu as montré que $(M_{s \wedge T})$ est bornée ça marche et il n'y a pas besoin de Fubini.
  • Modifié (November 2023)
    En fait, $M$ est par définition $\left(e^{X_{t}}\right)_{t \geq 0}$. Donc $M_{t \wedge T}=e^{X_{t \wedge T}}$ avec $T=T_{-a} \wedge T_{b}$ where $T_{r}:=\inf \left\{t \geq 0: X_{t}=r\right\}$. 
    Tout ceci implique que $M_{t \wedge T}$ est bornée par $e^{b}$.

    Par contre, si $\mathbb{E}\left[M_{s \wedge T}^{2}\right]<\infty$ alors on ne sait rien sur $\displaystyle \int_{0}^{t} \mathbb{E}\left[M_{s \wedge T}^{2}\right] \, \mathrm{d}s$ non ? J'avoue de pas comprendre comment ton raisonnement fonctionne @Barjovrille.
  • Modifié (November 2023)
    @fredaulycee2 En fait, j'ai montré à la 2) que $M_{t}$ est une locale martingale donc $M_{t \wedge T}$ est aussi une locale martingale. C'est le théorème de DOOB.

    De plus, comme on a : $\forall t \geq 0, \quad \mathbb{E}\left[\sup _{s \in[0, t]}\left|M_{s \wedge T}\right|\right]<\infty$ alors $M_{t \wedge T}$ est une martingale.
  • Oui j'ai parlé trop vite ça ne suffit pas pour conclure.
  • Merci pour vos réponses en tout cas.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!