Problème classique ?

philou22

On choisit un premier entier naturel $u_0$ et on définit par récurrence la suite $u$ de la sorte : le terme suivant est égal au produit des chiffres du terme courant. On peut prouver que la suite est stationnaire à partir d’un certain rang $n$. Le but du jeu est de trouver des valeurs de $u_0$ tel que $n$ soit grand.

philou22

J’ai oublié de préciser avec une écriture en base 10…

NicoLeProf

"On peut prouver que la suite est stationnaire à partir d’un certain rang $n$" : cela me semble compliqué à prouver et c'est surtout cela qui m'intéresse... Une piste (récurrence sur le nombre de chiffres de $u_0$)?

Ah si, cela semble marcher car on a l'inégalité : $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^n a_i \times 10^i \geq \prod\limits_{i=0}^n a_i$, inégalité stricte lorsqu'au moins un des $a_i$ est non nul, les $a_i$ étant des chiffres (donc de $0$ à $9$).

philou22

cela vient de $10^n\geq 9^n$

gai requin

Si $u_n$ a au moins deux chiffres, $u_{n+1}<u_n$.

Chaurien

Toutes les bases sont $10$.

NicoLeProf

Du coup, tentative de preuve : soient $n$ un entier naturel non nul et $a_i$, pour tout $i \in \{0,...,n\}$ des chiffres (donc de $0$ à $9$).

On calcule : $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^n a_i \times 10^i - \prod\limits_{i=0}^n a_i=a_n \left (10^n-\prod\limits_{i=0}^{n-1} a_i \right)+\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_i \times 10^i$.

Or, pour tout $i \in \{0,...,n-1\}$, $0 \leq a_i < 10$. Donc $0 \leq \displaystyle \prod\limits_{i=0}^{n-1} a_i<10^n$.

Ainsi, $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^n a_i \times 10^i - \prod\limits_{i=0}^n a_i \geq 0$ avec égalité si et seulement tous les $a_i$ sont nuls (les $a_i$ étant tous positifs et $10^n-\displaystyle \prod\limits_{i=0}^{n-1} a_i>0$ ).

On peut maintenant montrer que la suite $(u_n)$ est stationnaire à partir d'un certain rang.

Montrons ceci par récurrence sur le nombre de chiffres $p \geq 1$ de $\cancel{u_0}$.

(Non, par récurrence sur le nombre de chiffres $p$ d'un terme de la suite donc la proposition est : "s'il existe un terme de la suite ayant $p$ chiffres alors la suite $(u_n)$ est stationnaire à partir d'un certain rang").

Pour $p=1$, il existe un terme de la suite qui n'a qu'un chiffre et la propriété est vraie (la suite est constante à partir de ce terme). 

Hérédité : supposons la propriété vraie pour un certain rang $p-1 \geq 1$ et montrons qu'elle est vraie au rang $p$. 

Supposons qu'il existe un terme $u_{n_0}$ ayant $p$ chiffres. Alors, $u_{n_0}$ s'écrit sous la forme : $ u_{n_0}=\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{p-1} a_i \times 10^i$ où les $a_i$ sont des chiffres.

Si tous les $a_i$ sont nuls alors $u_{n_0}=0$ et la propriété est démontrée. Supposons donc qu'au moins un des $a_i$ est non nul.

On a par précédemment : $u_{n_0}>\displaystyle \prod\limits_{i=0}^{p-1} a_i=u_{n_0+1}$. Si $u_{n_0+1}=0$ alors la propriété est démontrée sinon, on a : $u_{n_0+1}>u_{n_0+2}$. On construit alors une suite strictement décroissante à partir du rang $n_0$.

Dès lors, il existe un rang $n_1$ à partir duquel, le terme $u_{n_1}$ aura $p-1$ chiffres et par hypothèse de récurrence, cela nous permet de conclure que la suite $(u_n)$ est stationnaire à partir d'un certain rang. 
Conclusion : la propriété est vraie pour tout $p \geq 1$. Est-ce correct? ... Quoique, trop bizarre comme raisonnement... C'est sans doute faux...

philou22

Pour information la plus grande valeur de $n$ que j’ai trouvé est 11.

lourrran

La suite étant décroissante, et bornée, elle converge. Les 8 ou 10 dernières lignes sont inutiles.

JRManda

Bonjour, 

Ne s'agit-il pas de la persistance multiplicative des nombres ?

gai requin

On a surtout une suite strictement décroissante d’entiers naturels tant qu’on a au moins deux chiffres.

philou22

@JRManda peux-tu m’en dire davantage ?

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Persistance_d%27un_nombre

JRManda

@philou22 rien de plus que les informations fournies par le lien que tu as publié ci-dessus. 

philou22

En référence 1 dans la page wikipedia on trouve l’explication concernant la vérification a priori impossible pour tous les nombres inférieurs à $10^{500}$ de la conjecture.