Premier ramifié et norme dans les idèles

noradan

Bonjour,

les auteurs que je suis en train d'étudier (Childress, Lang) ont l'air de considérer comme la plus parfaite des trivialités le fait suivant.

Si $\frak p$ est ramifié dans une extension $L/K$ et $\frak P|\frak p$ en notant $\cal U_{\frak p}$, $\cal U_{\frak P}$ les inversibles de $K_{\frak p}$, $L_{\frak P}$ alors en effet

${\cal U}_{\frak p}\neq N^{L_{\frak P}}_{K_{\frak p}}({\cal U}_{\frak P})$ et est même d'indice $e(\frak P/\frak p)$ (en notant $\cal U_{\frak p}$ les inversibles de $K_{\frak p}$).

Mais, dans les idèles, la norme est obtenue "par paquets". Qu'est-ce qui empêche alors d'avoir

${\cal U}_{\frak p}= N^{L_{\frak P}}_{K_{\frak p}}({\cal U}_{\frak P})\cdots$ $ N^{L_{\frak P_r}}_{K_{\frak p}}$ $ ({\cal U}_{{\frak P}_r})$, où les $\frak P_i$ sont des diviseurs de $\frak p$, sans qu'aucun des sous-groupes du second membre ne soit trivial ?

Le problème m'apparaît lorsqu'on affirme que si ${\cal E}_{\frak m}\subset N(J_L)$ alors $\frak m$ n'est pas divisible par des ramifiés ($\cal E_{\frak m}$ désigne les idèles unitaires modulo $\frak m$)

AlainLyon

@noradan Je sais ce qu'est un idéal de polynômes ou de séries formelles et sais donner un sens géométrique au "changement de variable $x=t^p$" -une ramification-  mais je ne sais pas ce qu'est une idèle ramifiée, est-ce en relation avec les notions de monodromie?

noradan

je ne crois pas. Ici ramifié veut dire que la décomposition en facteurs premiers de $\frak p$ fait apparaître des exposants $\frak p=\prod {\frak P}_i^{e_i}$.

Je suis en pleine théorie algébrique des nombres  avec des corps locaux partout. Mon problème est que chaque auteur donne sa propre définition de certains objets fondamentaux et cela fait des semaines que je médite pour comprendre pourquoi il s'agit de la même chose. Et je sèche !!!