Un nombre c'est quoi ?

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Réponses

  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    Je me rappelle en 6ème ou 5ème ou 4ème (je ne me souviens pas exactement laquelle de ces classes), avoir eu besoin de comprendre et surtout chercher le sens des nouveaux nombres et « avoir douté » de la pertinence de certaines opérations même si on m'avait appris qu'elles étaient licites. Mais je me refusais à les utiliser car dans mon esprit leur sens n'était pas évident et j'éprouvais sans comprendre pourquoi, des difficultés que la majorité ne rencontraient pas du tout. Poubcette raison, pas mal de mes professeurs m'avaient exprimé, avoir du mal à comprendre quel était ou où était « mon problème ».

    Ayant une personnalité assez têtue, et peut-être un niveau scolaire un peu plus bas (j'avais changé d'environnement social dans ma scolarité en passant au collège), je refusais inconsciemment d'appliquer des règles comme si c'était des dogmes absolus même si dans le fond, je savais déjà depuis le CM1 (j'y reviens dans la suite de ce message) que l'activité mathématique, on peut l'appréhender et dire que leur essence, c'est cela : des règles automatiques, qu'on essaie de mettre ensemble pour produire quelque chose d'efficace et de pré-supposé utile.

    Alors que plutôt en effet, en CM1 pourtant : on m'avait déjà bien dispensé le même type d'enseignement, en m'apprenant à faire des additions « algorithmiquement », avec l'idée que le respect de ces règles étaient la seule chose qui importait etc. Et dans ce contexte, je n'avais eu aucunes difficultés à l'accepter, j'étais en « harmonie intérieure » en faisant ces maths, car on ne me demandait pas de comprendre « pourquoi » ça fonctionnait ainsi, que derrière c'était des nombres qu'on manipulait.
    Non pas qu'on aurait du, mais que ce n'était au contraire, pas nécessaire voir néfaste car la réponse du pourquoi du comment, était évidente : ça servait à compter, au sens de l'utilité dans la vie quotidienne tout simplement, ce que je connaissais à l'époque, rien que pour être déjà aller à la boulangerie.

    Et pour en revenir au collège donc, devant mon obstination à retrouver cet état d'évidence de l'utilité de ce que j'apprenais, mon professeur (que j'aimais bien quand même, mémoire à elle, en plus elle avait un gros handicap auditif) a fini par me dire, un peu agacée par mon « blocage », que je ne me rendais pas compte qu''il avait fallu des siècles à nos mathématiciens, pour arriver aux nombres négatifs, et que le sens et l'utilité de ce que j'allais alors apprendre à partir de là, continuait à exister et à être important, mais qu'il ne relevait plus du sens commun, de l'utilisation quotidienne évidente.

    J'avais senti un « gap » mais on ne m'y avait pas préparé et cela m'a longtemps, et même encore aujourd'hui, inconsciemment « secoué ». Je n'en sais rien pour d'autres mais je trouve qu'il y a là, une certaine violence, celle consistant « à cacher », cette vérité, du « polymorphisme ou multisémantisme » de l'utilité en mathématique. Ça ressemble un meu à de l'endoctrinement, et je suis certains que même si nous y réagissons plus ou moins bien, ça pourrait être plus « humain ».

    L'histoire en mathématique aurait été donc pour moi, je pense, très importante dans ma construction intellectuelle.

    Mais ça n'a pas à être un truc hyper formel à chaque fois : par exemple, me raconter la biographie complète et detaillée (autant que possible)  de tel(le)ou tel(le) mathématicien(ne) m'aurait convenu par exemple. L'essentiel étant de rajouter de l'humain. Ou alors, par exemple, l'histoire de la découverte des nombres premiers, ou celle des nombres complexes etc.

    Pire, j'ai eu exactement ce même type de « blocage » (mais en moins important) dans d'autres disciplines comme la biologie. La présentation et la manipulation des concepts de cellule et des gène me faisaient le même effet que si on m'avait donné un cours, ... disons... de sorcellerie...

    Donc en fait, c'est un problème transversal à l'enseignement non spécifique aux mathématiques, mais qui est par contre, naturellement, plus saillant dans cette discipline. Et dans chaque discipline, mathématique, biologie, physique et la problématique s'exprime de manière très spécifiquement essentielle : la « solution » pour les maths (par exemple disons, donner plus d'éléments biographiques), peut ne pas être adaptée ou naturelle à la biologie. Mais le dénominateur/objectif commun, est de mettre simplement un peu plus d'humain.

    Je ne milite pas avec derrière la tête que mon cas personnel est ou devrait être considéré comme le cas général, c'est une problématique sans doute assez personnelle. Mais je la partage, â vous de voir qu'elle vaut pour ce qu'elle vaut.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Je me retrouve beaucoup dans ce que tu dis @Lirone93
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Je pense un peu comme Lirone93. Pour beaucoup d'élèves, une heure de maths, c'est quasiment une heure de perdue. Si de temps en temps on leur parlait de culture mathématique, ce ne serait pas du temps perdu.
    Par exemple, l'animation qu'on trouve dans la rubrique 'soustraction d'aire' ici sur la démonstration de Pythagore ... je trouve que c'est génial.

    Ou quand on parle de Pascal ou de Descartes, parler de l'effervescence des mathématiques à cette époque.  
    Ou encore, pour moi qui suit chauvin, parler des techniques utilisées par les Cassini pour 'trianguler' la France, et l'invention du mètre : c'est quand même magique que quasiment le monde entier ait réussi à s'aligner sur ce p... de système métrique.

    Difficulté, ça sous-entend que les profs de maths acquièrent en plus de leurs connaissances mathématiques une culture sur telle ou telle personnalité mathématique.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Pour un retraité qui touche la même pension tous les mois du calendrier le nombre de jours d'un mois est important, 
    Il y a les mois fastes : février, avril, juin, septembre, novembre
    et en conséquence les mois néfastes : janvier, mars, mai, juillet, aout, octobre, décembre.
    >:)
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @Cyrano : quelque chose m'échappe : si deux complexes ont le même module, tu ne diras pas qu'ils sont égaux, non ?
  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Selon moi, le problème n'est pas d'ordonner totalement l'ensemble des nombres complexes, le problème c'est que ça ne sert à rien.
    Pourquoi je fais ma mauvaise tête ? Parce que ce ne sera pas compatible avec la structure algébrique.
    Admettons que l'on soit tout content d'avoir défini $\mathbb{C^+}=\{z \in \mathbb{C} \mid z\geq 0 \}$
    Si on prend $i$ et $-i$ il faudrait que l'un soit positif et l'autre soit négatif comme ils sont opposés mais dans un cas, comme dans l'autre, le produit par lui même n'est pas positif car on va vouloir préserver l'ordre sur $\mathbb{R}$ donc avec $\mathbb{R^-}\cap \mathbb{C^+}=\{0\}$
    Notre sous-ensemble n'est pas stable par multiplication et addition.
    Mais ce n'est pas une raison pour ne pas leur donner le statut de nombre, les pauvres.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Bonjour

    Un nombre est un symbole qui permet de mesurer une quantité
    ou d'établir le rang d'un élément dans un groupe

    exactement comme une lettre (alphabet latin ou autre) qui par assemblage
    va constituer un mot et participer au langage ou à l'écriture

    Historiquement les nombres sont apparus en même temps que les lettres
    dans les civilisations (celte, mésopotamienne, chinoise ou maya)
    qui cherchaient un moyen pour les hommes et les femmes
    de communiquer simplement et pratiquer l'échange de biens

    En mathématiques comme en littérature, la définition
    des termes et symboles doit être d'abord empirique

    Cordialement
  • Un trigintaduonion mesure quoi ou établi quel ordre ? Et les ducentiquinquagintasexions (aussi appelés voudons)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2023)
    Je me trompe peut-être, mais il me semble, au vu de la plupart des différentes discussions lancées par @Jean--Louis, que ce dernier s’intéresse plus à l’aspect philosophique que mathématique de ce qu’est un nombre. Si tel est bien le cas, il me parait alors bien plus judicieux de le diriger vers des ouvrages d’histoire et de philosophie des sciences (ou mathématiques, en l’occurrence).
  • Le document que j'ai posté comprend les avis de 29 philosophes/mathématiciens/physiciens entre -600 et le 20 ième siècle.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (October 2023)
    Ah, c'est bien possible. Néanmoins, ça ne saute pas aux yeux. ^^'
    Et puis j'écrivais ça surtout par rapport à la tournure que prenait la conversion.
  • samok
    Modifié (October 2023)
    J'ai galéré avec la notion de nombre : son écriture, son appartenance à des ensembles, les opérations qui les soumettent, les comparaisons qu'ils respectent ou pas, leurs fondements.
    Sieur Jean-Louis, je vous pose la question : 1 radian = 1 ? sachant que le radian est une grandeur sans dimension.
    Que répondez-vous ?
  • Pas grand chose sinon que cette équation me paraît pas satisfaire une équation dimensionnelle puisqu'on a une unité d'un côté et pas d'unité de l'autre.
  • samok
    Modifié (October 2023)
    D'accord, j'imagine que votre prochaine question sera : C'est quoi la vérité ?
    J'ai aussi pas mal galéré avec ça, aussi !
    :)
  • Philou 22 un nombre serait donc une quantité.... Pas terrible je trouve pour  un matheux.
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    Un nombre c'est le concept de quantité. (édit je fais remarquer que j'ai mis le mot concept en italique pour qu'il soit vu et lu.)
     (et il n'aboie pas non plus).
    Pour aller plus loin le concept de nombre est dual de celui de bijection, mais c'est un peu long à expliciter, pour faire court on pourrait dire qu'un nombre énumère:
    La quantité énumère une quantité (combien il y a de?), alors que le nombre énumère (combien il y a?)
    Je vous renvoie au livre de Gaston Casanova Mathématiques et matérialisme dialectique dont j'ai parlé plus haut qui explique dans le détail comment on passe de la quantité objet à la quantité nombre par un processus dialectique.
    Cela dit, si j'ai maintes fois constaté les lacunes dans ce domaine chez des élèves du secondaires, je suis frappé de voir que ces lacunes ne se comblent pas chez des adultes férus de mathématiques, voire professionnels de la discipline, en Recherche ou en Enseignement. A croire que nous sommes fort peu à avoir suivi des cours de philo? ou du moins à nous y être intéressés.
    Car cette question est une tout de même une question centrale en philosophie et en particulier en philosophie des sciences. 
    Même s'il parait qu'il serait inutile de parler d'Histoire des Sciences, on peut espérer que nombreux sont les enseignants qui savent néanmoins que les nombres chez Pythagore avait une signification spirituelle de même que chez Platon. Ce qui d'ailleurs répond de façon historique à la problématique utilitariste mais pour le coup dans un sens immatériel et ésotérique ce qui ne manquera pas de frustrer les pragmatiques les plus renfrognés.
    Il y a derrière les différentes acceptions du mot nombre, différentes conceptions philosophiques des mathématiques. Celles ci peuvent être classées dans deux familles: les idéalistes (comme celles de Jean Lismonde) qui consacrent le primat du symbolisme, et les matérialistes qui consacrent le primat de la matière donc de la quantité. Or il y a dispute entre ces deux familles de pensée, ce pourquoi il n'y a pas de définition universelle. Ce pourquoi il y a différentes façons de penser l'enseignement des mathématiques également (et ce dont dont aurait pu espérer que les IUFM ESPE INSPE se saisissent car il s'agit là d'une véritable question pédagogique, malheureusement il n'en est rien.)
    Evidemment, il y a un nombre important de nuances philosophiques subtiles derrière tous cela: par exemple une conception empiriste des mathématiques peut apparaitre dans un premier temps comme matérialiste alors qu'une réflexion approfondie montre qu'elle ne l'est pas.
     On ne peut trancher ici un débat philosophique millénaire en deux lignes, et il apparait dommage que des personnes férues de mathématiques ne s'y intéressent pas et ne se soient pas cultivées sur le sujet, faisant là l'erreur symétrique des littéraires qui snobent les Sciences. Alors qu'à l'origine il n'y avait pas de séparations entre ces deux domaines de la connaissance comme le montrent Pythagore, Platon Descartes Leibnitz par exemple.
    Pour l'anecdote, je mets un point d'honneur chaque année à consacrer une heure d'enseignement à cette question: qu'est-ce qu'un nombre? Cela me permet de constater que l'enseignement des mathématiques est fondé sur des bases bien fragiles puisque si beaucoup d'élèves se sont posés la question très peu ont reçu une réponse dans leur parcours scolaire ce qui est tout de même bien embêtant et explique du moins pour certains jeunes leur rejet d'une discipline qui leur parait bien jésuitique puisqu'on y enseigne la science des nombres sans paraitre savoir ce qu'est un nombre et sans même, ce qui est plus grave s'en soucier.
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    Il a été envoyé ici un pdf qui fait bien plus que deux lignes. Tu peux envoyer le tien pour compléter ?
  • "le nombre énumère (combien il y a?)"

    Avec une définition pareille pourriez-vous expliquer ce qu'énumère $\pi$, ou $i$ (sans aller chercher bien loin)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Chaurien
    Modifié (October 2023)
    $~~~~$Je survole cette discussion, non sans un certain scepticisme.$~~$ Je m'étais fait la même réflexion que Médiat_suprême ci-dessus. Que « mesure », qu'« énumère » un quaternion ?
    $~~~~$Il paraît difficile de donner une définition générale de « nombre ». En 1980, j'avais fait partie de la dernière fournée d'étudiants de Charles Pisot en DEA, et il avait justement terminé son cours de l'année par  une réflexion sur ce sujet, et il me semble me souvenir qu'il concluait sur une interrogation. Paradoxe qu'un théoricien des nombres qui ne sait définir l'objet de ses travaux ! Mais ce n'est pas grave, l'important est de trouver de nouveaux résultats.
    $~~~~$Mon idée c'est qu'il vaut mieux définir le concept de nombre en extension, en dressant une sorte de catalogue de ce qui est nombre, sans se soucier de définition en compréhension, qui caractériserait ce concept. Pour cette définition en extension, je me réfère généralement au beau livre : Heinz-Dieter Ebbinghaus & alii, Numbers, Springer 1991, qui a eu une traduction en français par François Guénard, Vuibert 1998. Le document que nous a fourni Mediat_suprême en tête de ce fil est plus riche, à vrai dire il est d'une richesse extraordinaire. Je n'ai pas bien compris qui en est l'auteur, ni si on peut en acquérir une version-papier,
    Bonne journée automnale.
    Fr. Ch.
  •  Cela me fait penser à ce fil sur la question: Un pourcentage est-il un nombre?
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2332731/question-sur-une-egalite-suite-a-un-entretien-post-inspection-tendu (voir en particulier les derniers échanges entre Foys et JLT). 

    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Les nombres c'est comme les légumes : est un légume ce qu'on a décrété être un légume.
  • Le document que j'ai posté a été écrit par moi à 90% (par exemple, je n'ai pas écrit le chapitre sur la droite achevée), les autres contributeurs sont cités sur la page de couverture.
    Non, il n'existe pas de version papier.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Chaurien
    Modifié (October 2023)
    En effet, Héhéhé, la question se pose notamment pour la tomate : légume ou fruit ;)?
  • gai requin
    Modifié (October 2023)
    Le monde est plus simple pour les finitistes qui ne voient les nombres que dans les extensions finies (ahah) de $\mathbb Q$ ou $\mathbb Q_p$ (et surtout pas $\mathbb Q_{\infty}$ 🤮), voire $\mathbb F_p$. 
    Le problème, c’est les analystes 🤦‍♂️ qui ont quand même la chance que $\mathbb R$ soit un corps réel clos, contrairement à $\mathbb Q_p$ (mais qui fait de l’analyse $p$-adique ?)
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    @JLapin
    non je n’ai pas de PDF de ce livre malheureusement plus edité.

    @Médiat_Suprème tu n’as pas compris mon propos. 
    J’ajoute que si ta somme est impressionnante sur le plan mathématique, elle est philosophiquement pauvre puisqu’elle ne rend pas compte des différentes écoles de pensées et donc évacue le débat et la controverse sur le sujet.

    Pour ma part je ne suis pas philosophe. Je me contente de signaler qu’une controverse existe quant au concept philosophique de nombre et qu’il est vain d’esperer definir un nombre en refusant 
    1/ de la considérer 
    2/ d’y participer.
  • @hx1_210 : vous n'avez pas compris ma question !
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    @Médiat_Suprème
    Il est intéressant que tu ne poses pas la question avec $3$…
    1/ le rapport entre le diamètre et la circonférence d’un cercle.
    2/ l’unité d’une des deux directions du plan d’Argan-Cauchy.
    Mais ta question montre que tu ne comprends pas mon propos. Ou que tu cherches à nier ou éviter la difficulté philosophique posée. Ce n’est pas la même choses de définir le nombre et les nombres.
    De plus définir par l’exemple c’est ce condamner à ne pas définir.
    D’autant que l’on peut très bien avoir construit des nombres dont on ne sait pas ou ne comprend pas encore ce qu’ils énumèrent: penser à l’exemple célèbre de Einstein. 
    Dans l’acception que je défends ( suivant ainsi Gaston Casanova et puis Georges Gastaud qui a lui aussi ecrit sur le sujet de façon qui m’a convaincue, mais en gardant à l’esprit qu’ il y a différentes écoles de penser). Le nombre énumère il est donc un rapport de bijection avec des objets reels que l’on peut compter (avec la difficulté que peut être nous ne les connaissons pas encore et que la découverte de nouveaux nombres préfigure la connaissance à venir de nouveaux aspects du réel qui nous échappent encore).
    Les règles mathématiques nous amènent à des difficultés d’énumération qui conduisent à dépasser ces difficultés en complétant nos ensembles de nombres dans un mouvement dialectique qui d’une part nie les insuffisances à compter des ensembles préexistants et d’autres part nie cette négation en imposant le respect d’une cohérence totale ou partielle avec les règles d’énumération préexistantes.
    Ce mouvement dialectique impose que les nouveaux ensembles de nombres permettent d’énumérer: quoi et comment dépendent de la façon dont on les a obtenus.
    J’explique cela à gros traits donc mal car je ne suis pas philosophe et pour entrer dans le détail il faut étudier ce que les penseurs ont dit du sujet: j’insiste sur le pluriel. Cela demande du temps et de la connaissance.
    Il serait prétentieux de croire que les mathématiques puissent clore une question philosophique par la donnée de quelques axiomes (dont Gödel garantit qu’ils seront incomplets).
  • Héhéhé
    Modifié (October 2023)
    @Chaurien
    La tomate est un fruit, car "fruit" a une définition précise.
    Le fait qu'une tomate soit un légume ou non est laissé à l'appréciation du lecteur, puisque "être un légume" est arbitraire.
    Je viens de tomber sur le terme légume-fruit.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (October 2023)
    @hx1_210 : VOUS donnez une définition, je vous demande comment s'applique cette définition à des objets mathématiques que tout le monde s'accorde à qualifier de "nombre", et vous êtes incapables d'y répondre (énumérer un quotient, ou un plan, ce n'est pas sérieux), alors non je ne comprends pas votre propos et je ne veux pas le comprendre.

    Si vous aviez lu mon document, vous sauriez que je m'intéresse à la question, même si j'en suis arrivé à la conclusion qu'elle n'a aucun intérêt mathématique, aucun théorème ne commençant par "Pour tout nombre $x$, $P(x)$"
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • gerard0
    Modifié (October 2023)
    Pour Hx1_210 
    Tu donnes une réponse philosophique à Jean-Louis, basée sur la réflexion à propos des nombres entiers. Et évidemment, comme réduire les nombres aux entiers est très "pauvre", comme tu le dis à propos du document de Médiat, tu obtiens des réactions immédiates. D'ailleurs, Jean-Louis avait critiqué ça dans le message précédent le tien.
    Je ne suis pas très au fait des recherches philosophiques sur les nombres, mais elles ne peuvent pas laisser de côté les "nombres qui mesurent" (rationnels, réels) et "ceux qui calculent" (complexes, ordinaux et cardinaux infinis, ...).
    Quant aux matheux, ils appellent "nombres" ce qu'ils sentent correspondre à une certaine idée d'outil de calcul, même si dans certains cas (matrices, vecteurs), la dénomination "nombre" a été vite abandonnée.
    Tu te heurteras ici à l'indigence de certains en matière historique. Nombre de matheux considèrent que les seules idées valables sont celles qu'ils ont apprise à 20 ans, et creusées ensuite, on ne peut pas compter sur eux pour penser philosophiquement. Mais merci pour ton éclairage sur le débat.
    Cordialement.
  • gerard0
    Modifié (October 2023)
    Attention, Héhéhé, tu donnes la définition du mot "fruit" en botanique, pas celle des commerçants (lire les premières lignes du site que tu cites). Donnerais-tu la définition bouliste du mot "boule" en topologie ?
    Cordialement.
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Si vous voulez faire de la philosophie des mathématiques proprement, faites de la logique formelle au lieu de brandir des auteurs vieux de 300 ans ou plus dont la production est devenue largement obsolète  comme argument d'autorité ou de citer maladroitement le théorème de Gödel (par exemple la théorie des corps réels clos, qui parle de calculs algébriques sur les nombres réels et qui héberge des pans entiers de la géométrie euclidienne, est complète et décidable).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    @Médiat_Suprème Vous ne comprenez pas et vous ne voulez pas comprendre.
    Tout est dit 
    Il est dommage de déplacer la discussion sur un plan personnel et donc polémique.
  • @hx1_210 Vous semblez ne pas comprendre toutes les acceptions du mot "comprendre"
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Jean--Louis Ca n'est pourtant pas si compliqué: un nombre (surréel) est tout simplement un nombre surréel.
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    @Médiat_Suprème
     J'ai partagé ce que j'avais à dire sur le sujet. Je te remercie pour le partage de ton document de plusieurs centaines de pages, il semble fort intéressant  et démontre certainement d'une grande érudition sur le sujet des nombres et non DU nombre. Il a donc certainement (je dois te dire honnêtement que je ne l'ai pas étudié en détail) un grand intérêt sur le plan de la culture mathématique mais échappe le sujet et tu le dis toi même: "j'en suis arrivé à la conclusion qu'elle n'a aucun intérêt mathématique". 
    On ne définit pas un espace-vectoriel en faisant un inventaire à la Prévert des espaces-vectoriels mais par une liste d'axiomes qui chacun contraignent et décrivent un aspect mathématique porteur d'intérêt. C'est possible pour un ev, mais celui-ci comporte des manques qui conduisent à introduire la notion de A-module puis de compléter toute cette zoologie par l'obtention d'une ribambelle de structures algébriques toutes adaptées à une collections de problèmes.
    Or, on pourrait d'ailleurs prolonger la question en se demander ce qu'est une structure algébrique ? Qu'est ce qu'un point etc. ?
    Je t'ai proposé une piste de réflexion qui ouvre vers la philosophie qui montre que la problématique est l'objet d'une absence de consensus et donc d'une recherche en cours.
    Je m'arrête là car cette discussion est stérile : j'ai la regrettable impression que les discussions ici quant elles ne sont pas courtes et cantonnées à un point technique précis sont condamnées à tourner en un jeu de domination qui me désintéresse autant qu'il me désole car on y retrouve tout ce qui rebute la plupart des gens dans la pratique des mathématiques.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (October 2023)
    Je ne sais plus comment vous le dire : le problème est que contrairement aux e-v, il n'y a pas d'axiomes définissant "nombre" et en plus ce n'est pas grave, d'autre part Badiou ayant exploré la question philosophique en détail, je me suis contenté de mon domaine de connaissance, mais bon, si c'est trop long pour vous ...

    En tout état de cause, la définition que vous avez donnée (empruntée) est ridicule.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    j'ai la regrettable impression que les discussions ici quant elles ne sont pas courtes et cantonnées à un point technique précis sont condamnées à tourner en un jeu de domination qui me désintéresse autant qu'il me désole

    Je ne voyais pas vraiment de tentative de domination avant ce message qui tend clairement à ridiculiser l'enseignement reçu par tes élèves avant qu'ils n'aient la chance de t'avoir comme professeur.

    Pour l'anecdote, je mets un point d'honneur chaque année à consacrer une heure d'enseignement à cette question: qu'est-ce qu'un nombre? Cela me permet de constater que l'enseignement des mathématiques est fondé sur des bases bien fragiles puisque si beaucoup d'élèves se sont posés la question très peu ont reçu une réponse dans leur parcours scolaire ce qui est tout de même bien embêtant et explique du moins pour certains jeunes leur rejet d'une discipline qui leur parait bien jésuitique puisqu'on y enseigne la science des nombres sans paraitre savoir ce qu'est un nombre et sans même, ce qui est plus grave s'en soucier.
  • Cyrano
    Modifié (October 2023)
    Un peu d'humour. Voici comment sont définis les ensembles $\N, \Z, \Q, \R$ dans le cours officiel du meilleur collège de ma région. (Le cours est donné à des élèves de 12-13 ans)

    • $\N = \{0,1,2,3,...\}$
    • $\Z = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$
    • $\Q$ est l'ensemble de toutes les fractions $a/b$ où $a \in \Z$ et $b \in \Z \backslash \{0\}.$
    • $\R$ est l'ensemble de tous les nombres.
     :smiley:
  • biguine_equation
    Modifié (October 2023)
    Il y a des nombres réels: on sait ce qu’ils sont (on peut les définir mathématiquement et sans ambiguïté comme les nombres complexes ou p-adiques) mais on ne pourra jamais savoir à quoi ils sont égaux. C’est le cas des nombres $\Omega$ de Solovay formant un sous-ensemble des nombres $\Omega$ de Chaitin.  Du coup, l’ambiguïté ne porte pas sur les nombres eux-mêmes mais sur leur connaissance ! Que signifie « connaître un nombre » ?
  • 123rourou
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    Le nombre est associé à une unité (chou, voiture, atome), d'où le fait que la théorie des nombres est un passe-temps pour les insomniaques,
    sans grande utilité.  Et je rajoute que la nature se moque de nos petits tas, ce qui ne veut pas dire que nos petits tas ne veulent pas dire quelque chose de la nature bien sûr.
    cdl remy
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    @Jean-Louis, je ne suis pas philosophe et encore moins spécialiste de l'ontologie ni de la philosophie des Sciences et c'est bien ce que j'ai commencé par dire. Tout au plus comme Socrate je suis conscient de ce que je ne sais pas sur le sujet, ce qui m'autorise à dire qu'il y a là matière à réflexion. 

    Aussi j'ai voulu faire part rapidement de quelques réflexions personnelles sur le sujet et élargir le débat sur des bases plus larges et à mon sens plus fertiles car j'estime que le cadre mathématique n'est pas le bon cadre pour cette discussion qui nécessite des connaissances en philosophie qu'il est factuel de constater qu'elles font défaut à beaucoup de ceux qui ont étudié un peu ou beaucoup les mathématiques à notre époque.
    Dans ce contexte j'ai souhaité partager en le résumant à gros traits et je l'ai signalé (donc merci de ne pas en profiter pour ne pas me faire dire ce que je n'ai pas dit), un livre portant sur la construction des connaissances mathématiques que j'ai trouvé éclairant et écrit par Gaston Casanova.

     Que cela heurte les convictions ou l'égo de quelques-uns ne doit pas les autoriser pour autant à vouloir se montrer blessant comme j'ai malheureusement pu le remarquer dans certaines réponses.

    je viens donc de consulter une relation qui a étudié et publié au sujet de la philosophie des Sciences, je transmets donc pour ceux que cela intéresse sincèrement les informations par lui reçues: sur le concept de nombre, on peut utilement lire dans la Grande Logique de Hegel le chapitre 1 qui établit l'existence de l'unité puis celle de la pluralité avant d'en déduire le concept de nombre. C'est un texte fondamental pour qui s'intéresse sérieusement au sujet. Attention, on m'a prévenu que la lecture de Hegel nécessite un peu de concentration.

    Car enfin, avant de discuter de la définition du nombre, il faut d'abord en établir l'existence. C'est donc à Hegel que l'on doit cette démonstration. Pour ma part jusqu'à aujourd'hui je l'ignorais mais je suis heureux de combler cette lacune. 

    Pour ce qui concerne Badiou voici ce que l'on m'en a rapporté: Badiou considère que l'on ne peut rien faire de sa raison si l'on n'a pas lu le dialogue Le Sophiste de Platon. C'est une manière parmi d'autres de réfuter la tendance à l'ultracépidarianisme qui nous guette tous et aussi de rappeler que la lecture isolée d'un ouvrage sans recul n'est pas la meilleure façon de construire une compréhension lucide des choses de la vie.

    En espérant que cela puisse être utile à ceux que le sujet intéresse et qui accepterons peut être d'envisager que l'ensemble de la connaissance ne se trouve pas dans un manuel de mathématique et qu'un pas de côté et parfois nécessaire pour embrasser utilement ce que d'autres savants que les mathématiciens (il y en a!) ont produit comme connaissance. 

    @biguine_@biguine_equation
    Merci pour cet article du passionnant JP Delahaye, qui s'il nous permet de connaitre une nouvelle classe de nombre (et répond à l'objection de gérard0 sur nombres et calculs) ne permet tout de même pas de savoir ce qu'est un nombre. Je remarque tout de même qu'ici les nombres considérés sont une probabilité donc. une mesure donc dans un sens une énumération au sens bijection (et non au sens nombre entier).
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    Assez simplement, je dirais que le minimum pour dire que tel objet est un nombre : 
    1. Il doit possèder au moins une caractéristique qui permet de dire que si un nombre ne possède pas cette propriété alors il s'agit d'un nombre différent.
    2. Il doit pouvoir être combiné - via un symbole le représentant - à un autre nombre pour obtenir un nombre.

    1. est assez général, évident, et 2. est plus discriminant.

    Voilà avec mes connaissances, ce que je dirais, mais elles sont limitées, c'est possible que des nombres que je ne connais pas, échappent à la définition donnée.

    Franchement, la philosophie ca peut être intéressant mais ici, pour l'instant, je ne vois pas de raisons particulières de sortir des tonnes de connaissances philosophiques.

    À noter quand même qu'il y a, disons, sept siècles par exemple, ils avaient une autre conception du nombre.
    Il se peut donc aussi que dans plusieurs siècles, on aura encore une autre définition. L'histoire n'est pas finie.

    Mais à mon sens, que l'on puisse combiner ces objets, joue beaucoup dans nos motifs à les considérer comme des nombres.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • philou22
    Modifié (October 2023)
    En fait le mot « nombre » ne fait pas parti du vocabulaire mathématiques. On choisi arbitrairement d’appeler nombres les éléments d’une structure algébrique par analogie avec $(\mathbb{N},+)$. Est-ce qu’un vecteur est un nombre ? Est-ce qu’une matrice est un nombre ? Est-ce que classes d’équivalence constituant $\mathbb{Z}$ sont des nombres ?
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    Je n'arrive pas à considérer qu'un vecteur ou une matrice soit comme des nombres, car ce sont des objets cosubstantiels aux e.v. alors qu'un nombre est un objet suffisamment riche ou général pour que leur manipulation puisse se restreindre uniquement à de la seule « algorithmie » (ie les opérations sur ces nombres).
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • philou22
    Modifié (October 2023)
    @Lirone93 Les éléments du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ méritent-ils moins d’être appelés nombres que ceux de $(\mathbb{C},+)$ ?
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Car enfin, avant de discuter de la définition du nombre, il faut d'abord en établir l'existence.

    @hx1_210 Cette phrase est fausse et montre que l'auteur ne comprend pas ce qu'est une définition. Change de référence vraiment.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    @Foys Il n'est pas nécessaire d'établir l'existence d' (au moins) un nombre pour le définir. C'est intéressant. Mais que définis-tu alors ? 
    En logique formelle c'est certainement possible en prenant en compte l'ensemble vide mais quel sens cela a-t-il ?

    Juste un détail : tu es peut-être très docte mais ton ton hautain et condescendant est désagréable. En as-tu conscience ?
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    @philou22 je suis d'accord que chercher à définir dans le marbre, un nombre n'a communément pas grande importance et ne constitue pas un réel enjeu mathématique.

    Mais si je te réponds ce que je pourrais en penser (encore une fois, il faut vraiment que je m'accroche pour trouver un intérêt à cet effort intellectuel), je risquerais de donner l'impression inverse, ce que, par souci de préserver mon intégrité, je ne veux pas.

    Mais il faut te répondre... alors je me contenterais de répondre que si on a une connaissance (personnellement, si elle existe, je ne l'ai pas) où les éléments de $\mathbb{R^2}$ sont définis comme des nombres et qu'en s'arrêtant là, ça suffit (dans le sens c'est assez riche) pour apporter des résultats intéressants, nouveaux, ça répondra alors en conséquence, à la question.

    Je ne souhaite juste pas trahir par là, l'utilisation pertinente (plus dans le langage courant finalement), de ce mot « nombre ».
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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