Un nombre c'est quoi ?

Jean--Louis
Modifié (October 2023) dans Fondements et Logique
Pendant une grosse insomnie cette nuit, je me suis posé la question suivante : existe-t-il une définition du Nombre qui subsume tous les nombres connus (entiers, rationnels, réels, ...) ? Alain Badiou, le philosophe a écrit un livre "le Nombre et les nombres" d'où il ressort que pour lui le Nombre (donnée conjointe d'un ordinal et d'une partie de cet ordinal) c'est le nombre surréel de Conway. Mais par exemple les surréels ne contiennent pas, sauf erreur de ma part les nombres complexes, ce qui est bien dommage. Alors pour vous, un nombre c'est quoi ?
Cordialement.
Jean-Louis.
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Réponses

  • Médiat_Suprème
    Modifié (October 2023)
    Voici une non-réponse : 

    PS : désolé, impossible d'attacher un fichier (peut-être trop gros : 364 pages sur les nombres), ne pas oublier les pseudo-réels qui ne sont pas inclus, non plus, dans les surréels
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • En coupant 4, ça marche
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Jean--Louis
    Modifié (October 2023)
    Merci mais ça ne répond pas à la question ce me semble.
  • Je pense que la meilleure approche pour définir le concept "nombre" est de se poser la question : à quoi ça sert ? Ensuite vient la question, est-ce que ça a besoin d'avoir une forme particulière ?
    Par exemple, si je te demande de me définir ce qu'est une "voiture", tu vas sans doute commencer par une définition générale de ce qu'est un véhicule (entre autres parce que c'est l'utilité principale d'une voiture), puis tu vas te rendre compte qu'il y a plein de véhicules qui ne sont pas des voitures, et qu'il existe plein de types de voitures différentes (voitures citadines, voitures jouet, voitures de formule 1, voiture d'un train...).
    Tout ça pour dire que la question de "peut-on définir de manière univoque ce qu'est un nombre" est peut-être tout simplement mal posée.
    Nous utilisons les nombres pour compter, mesurer, comparer, positionner, etc etc etc. Selon le contexte, on va utiliser des nombres différents pour telle ou telle application. Premier détail : la fraction 3/4 est-elle autre chose que le couple d'entiers (3,4) ? Selon les règles de calcul qu'on utilise, moi j'affirmerai que non. J'aurais pu prendre un nombre complexe a+ib, ce n'est rien d'autre que (a,b) avec des règles de calcul spécifiques.
    Donc peut-être qu'un nombre, c'est juste un truc qui obéit à certaines règles de calcul et qu'on a représenté d'une certaine manière. Si l'on change les règles de calcul, on change les nombres. Donc peut-on définir quelles règles de calcul s'apparentent à des règles qui définissent des nombres ? Au fait, une règle de calcul, c'est quoi ? Et un calcul, c'est quoi ?
    Là où je veux en venir, c'est qu'un nombre, c'est juste un outil qu'on invente pour un besoin, on fixe ses règles de fonctionnement, puis on l'utilise pour modéliser un truc. Parmi tous les outils qu'on invente pour un besoin en en fixant les règles, nous en comprenons certains comme des nombres et d'autres non. Pourquoi ? On étend bien certains types de calculs à des objets que nous ne comprenons pas comme des nombres, typiquement les fonctions, vecteurs, matrices. Qu'est-ce qui fait que le "type" nombre aurait quelque chose de spécial ?
    Je préfère définir des objets a priori de nature distincte, et comprendre implicitement que je les appelle "nombre" à cause de la manière dont je vais m'en servir.
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Je pense que la meilleure approche pour définir le concept "nombre" est de se poser la question : à quoi ça sert ? Ensuite vient la question, est-ce que ça a besoin d'avoir une forme particulière ?

    @Homo TopiÀ quoi sert un éléphant ? Un nuage ? un satellite d'une planète ? L'Australie ? La vitesse de la lumière ? L'idée qu'une définition doive forcément être subordonnée à l'utilité de la chose étudiée est fausse et entretient des confusions très graves chez les destinataires du message insuffisamment équipés intellectuellement.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Jean--Louis
    Modifié (October 2023)
    Homotopi, je trouve seulement curieux, mais je ne suis qu'un amateur en math, qu'il n'y ait pas de caractérisation d'un Nombre qui engloberait tous les nombres dont on se sert, et ceux qu'on ne connait pas encore. Y a-t-il un empêchement d'ordre "technique" à accomplir cela ?
  • Bonjour,
    Peut-être que les destinataires du message insuffisamment équipés intellectuellement, dont je veux bien faire partie pour l'occasion, font une différence entre ce qui provient de leur perception du monde extérieur et un concept cré par l'humain pour l'humain.
    Pour le second cas, la notion d'utilité me parait tout de même assez pertinente puisque c'est son usage qui en fait l'existence de mon point de vue. C'est assez dingue le mépris dont certains peuvent faire preuve parfois car je trouve la réponse d'Homo Topi intéressante à défaut d'être LA réponse qui n'existe vraisemblablement pas.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Dans mon document, vous trouverez l'idée qu'un nombre est un objet qu'on a envie d'appeler nombre (en général, avec deux opérations (pas toujours, cf. les nombres supernaturels))
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Foys en didactique des mathématiques, on dit qu'il y a une dualité outil-objet des concepts mathématiques. Un objet mathématique est d'abord créé en tant qu'outil pour répondre à un problème, puis étudié en tant qu'objet, puis cette étude lui donne des nouvelles facettes d'outil qu'on réinvestit.
    Tu constateras qu'une voiture est un outil créé par l'humain, contrairement à tous les exemples que tu as cités. La question est si tu as honnêtement mal compris mon propos, ou fait exprès pour tourner en dérision quelque chose juste parce que tu n'es pas d'accord avec.
    Quant à la fin de ton message, doit-on comprendre que tu estimes que Jean-Louis est trop stupide pour comprendre les choses dont on parle ici ?
  • Ce que propose @Médiat_Suprème  me convient mais je crains de n'être qu'un destinataire insuffisamment équipé intellectuellement.
  • Je m'en remets à wikipedia 

    " Un nombre est un concept mathématique permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang

    En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notion, divers types de nombres ont été introduits, des entiers naturels aux nombres réels, et encore au-delà avec d’autres objets comme les nombres complexes3, les nombres p-adiques4, des infinitésimaux de l’analyse non standard ou des transfinis de la théorie des ensembles. Ces concepts permettant d’exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, encoder des informations, voire appréhender l’infini. "

  • Foys
    Modifié (October 2023)
    @tous: "Insuffisamment intellectuellement équipé" veut dire: des gens qui ne connaissent pas assez les maths -des élèves typiquement- et qui pourraient croire qu'il y a une interdiction pour le prof de parler de concepts mathématiques s'il ne peut pas les présenter comme des outils. Ca fait quarante ans que ce caprice pédagogiste détruit l'enseignement des mathématiques. Une définition doit dire ce qu'est la chose POINT BARRE. Vous pouvez pas vous permettre de passer 8 mois sur chaque notion quand il y en a des milliers (après le lycée l'apprenant devra encore apprendre les monoïdes, les groupes, les réels, toutes sortes de classes de fonctions, les séries, les développements limités, les mesures etc). Et puis @Homo Topi ton propos revient à dire que la production humaine (celle dont à le droit de parler car définissable) est constituée à 100% d'outils. Ainsi le cinéma est un outil, la musique est un outil, le jeu de Tarot est un outil,... Les maths ne sont pas qu'un caprice humain, ils servent à décrire (prédire) de façon fiable une partie de la réalité.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Voilà, voilà, tout ça pour ça, tu n'en as absolument rien à faire de la question de Jean--Louis sur ce qu'est un nombre, il s'agissait d'un prétexte pour te plaindre du pédagogisme.
    Pas très subtil pour quelqu'un de soi-disant suffisamment équipé intellectuellement.
    Mais sur le fond, j'aime bien la version de Médiat_Suprème aussi, ça me plait bien le fait que cela dépende de nos choix !
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Je ne formalise pas d'être considéré comme sous équipé, j'ai 76 ans et les mahs sérieuses c'était il y a longtemps...
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    @Jean--Louis
    Tous les objets mathématiques sont des ensembles. Un nombre est un ensemble. Par exemple, $0$ est l'ensemble vide et $1$ est l'ensemble $\{0\}$, de sorte que $0\in 1$ (ce qui s'écrit plus couramment $0\leq 1$).
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Depuis la parution des théorèmes de Gödel (entre autres) on s'est aperçu qu'il y a une impossibilité à considérer certains notions comme absolues, parmi lesquelles il y a celle de nombre. Il n' y a pas de nombres, il y a des théories qui parlent de nombres, ainsi il y a les nombres 
    -d'après l'arithmétique de Peano 
    -d'après les variantes et fragments de l'arithmétique de Peano: l'arithmétique de Presburger, de Robinson, $I\Sigma_1$ et ses extensions comme $RCA_0/WKL_0$
     -d'après l'arithmétique du second ordre où autres types de nombres sont proposés (réels encodés par des parties de l'ensemble des entiers), 
    -d'après la théorie des ensembles où à nouveau, de nombreux ensembles ou classes de nombres coïncident: réels, complexes, quaternions, nombres surréels, ordinaux... 
    -d'après des théories intuitionnistes dont les sémantiques sont des topos et où il y a carrément deux notions différentes de réels qu'on fait coexister ("réels de Cauchy" et "réels de Dedekind")
     et j'en oublie. On est devant une variété de systèmes différents, on déclare dans lequel on travaille.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    On est devant une variété de systèmes différents, on déclare dans lequel on travaille.

    Donc tu es d'accord avec le fait que la définition d'un nombre dépend d'à quoi il sert ensuite finalement...

  • Cyrano
    Modifié (October 2023)
    Juste une remarque, l'idée d'un concept mathématique comme "outil" n'est pas une considération bassement pragmatique ou matérialiste du type "il faut que ça serve aux ingénieurs sinon ça ne vaut pas la peine d'être étudié".

    L'idée serait plutôt la suivante : derrière chaque définition mathématique il y a une raison d'être. Je ne connais aucune mathématicien professionnel qui introduit une définition dans un article peer-reviewed sans avoir une motivation derrière la tête.
    La question est dès lors la suivante : Au niveau de l'enseignement des mathématiques de bases, pourquoi prive-t-on les élèves de la raison d'être des concepts qu'ils étudient ? A-t-on peur qu'en leur expliquant l'histoire des idées mathématiques on ait moins de temps pour faire des mathématiques formelles ? 

    Exemple : Pratiquement aucun étudiant en mathématiques ne sait qu'historiquement les nombres complexes ont été introduits pour résoudre des équations du troisième degré (et non du second degré comme on le voit souvent dans les manuels).
  • On ne leur apprend pas non plus qu'un certain Fibonacci pouvait utiliser des nombres négatifs, à la condition qu'ils n'apparaissent pas dans le résultat
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Autant je suis, oh combien d'accord, sur la vision outil des concepts qui manque parfois cruellement dans l'enseignement, autant je ne les rapporte pas forcément à l'historique (même si c'est une approche qui peut être intéressante si pas trop longue pour en arriver à ce qui nous intéresse vraiment).
    Pour reprendre l'exemple des nombres complexes, on pourrait choisir de les faire apparaitre via la géométrie et cela aurait du sens aussi, ce qui compte pour moi, c'est de justifier l'utilité d'un concept en montrant à quel point il est bien fichu pour résoudre des problèmes.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Exemple : Pratiquement aucun étudiant en mathématiques ne sait qu'historiquement les nombres complexes ont été introduits pour résoudre des équations du troisième degré (et non du second degré comme on le voit souvent dans les manuels).

    @Cyrano
    Un exemple typique : comme les formules de Cardan sont hors programme à peu près partout mais qu'on ne peut faire l'économie d'un enseignement des nombres complexes, afin d'obéir au diktat pédagogiste qui interdit la prononciation de définitions non motivées, les profs sont obligés de mentir sur leur origine quand ils en parlent (au lieu de ne rien dire). Un autre exemple de cette incurie : les cours qui parlent de températures "négatives" pour introduire les nombres négatifs (d'après sa signification physique une température est toujours positive - en kelvins). Pour le coup ce n'est pas dur de dire qu'ils ont étés inventés pour représenter des dettes par les comptables du moyen-âge.
    Et je n'ai jamais vu d'article peer-reviewed ;-) écrit comme un manuel de terminale pédagogiste avec couleurs fluos.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Euh non, je n'ai jamais vu ou entendu parler de l'origine historique des nombres complexes de toute ma scolarité donc beaucoup de profs ne disent rien, pas besoin de mentir. A part ça, je suis d'accord avec Foys, la dette c'est mieux que les températures pour les nombres négatifs mais à ma connaissance, rien n'est imposé à ce sujet aux profs.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Je ne crois pas que le mot « nombre » ait un sens mathématique.
    Je n'ai jamais rencontré une phrase du genre : « Soit $a$ un nombre » où le mot « nombre » ne soit pas suivi d'un adjectif qualificatif.
    D'un point de vue historique les nombres sont les entiers intuitifs sauf zéro.
    Après on a étendu la notion, mais c'est assez récent, par exemple Euclide ne considérait pas les rationnels comme des nombres.
    J'ai l'impression qu'il en est du mot nombre comme il en est du mot arbre : il n'y a pas de définition précise parce qu'en général une telle définition ne présente aucun intérêt.
  • En première S, il y a un certain nombre d'années, il m'est arrivé de proposer aux élèves un TP sur les formules de Cardan pour résoudre une équation du troisième degré (y compris avec le poème qui va avec (traduit bien sûr )

    Température négative : mauvais exemple
    Dette : bon exemple
  • Héhéhé
    Modifié (October 2023)
    Je ne vois pas quel est l'intérêt, à part historique, de savoir que les nombres complexes ont été introduits pour résoudre des équations du troisième degré.
  • Verdurin :  Euclide ne considérait pas les rationnels comme des nombres.

    Jusqu'au 16ième siècle (voire 17 ième), 1 n'est pas considéré comme un nombre.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Je pense que pour un marchand, $1+1=2$, même au 16e siècle.
  • N'empêche que les mathématiciens considéraient que 1 n'est pas un nombre (il a fallu attendre Simon Stévin dont l'argument pourrait, d'ailleurs, être utilisé pour montrer que 0 n'est pas un nombre).
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Euclide ne considérait pas les rationnels comme des nombres.
    C'est bien ce que j'ai dit.
    Pour un je n'était pas certain.
    Historiquement les nombres sont donc  les entiers intuitifs à partir de deux.
    Après on a étendu la notion de nombre. On l’étendra peut-être encore.
    La conclusion reste que le mot nombre n'a pas de définition mathématique.
    Et qu'en chercher une n'a aucun intérêt.
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Ce qui n'a pas d'intérêt est de manipuler des notions non définies et donc de participer à des foires d'empoigne où l'arbitraire règne. Il existe des définitions des nombres dans des systèmes spécifiques ce qui est bien suffisant.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • umrk
    Modifié (October 2023)
    Je ne sais pas définir ce qu'est un nombre mais moi ce qui m'a toujours gêné pour admettre les complexes comme des nombres c'est qu'on ne sait pas les ordonner (totalement)  (en fait j'ai cru voir sur ce site (je ne suis pas sûr, c'est un échange ancien avec Martial) que ce n'était pas vrai , mais en tout cas pas de façon triviale).

    Comme le disait mon prof bien aimé de prépa (J Bouteloup) "majoration et minoration sont les deux mamelles de l'analyse" ---> si on ne sait ni minorer ni majorer, moi je jette l'éponge ...
  • DeGeer
    Modifié (October 2023)
    Pour l'introduction des nombres relatifs, les programmes ne disent rien (d'ailleurs je me demande comment un document officiel peut être aussi vide de sens). Par contre, les repères de progression indiquent que les nombres négatifs sont construits pour rendre possibles toutes les soustractions. C'est au prof de choisir comment il l'introduit de manière raisonnable à des 5èmes.
    Le travail mené au cycle 3 sur l’enchaînement des opérations, les comparaisons et le repérage sur une droite graduée de nombres décimaux positifs est poursuivi. Les nombres relatifs (d’abord entiers, puis décimaux) sont construits pour rendre possibles toutes les soustractions. La notion d’opposé est introduite, l’addition et la soustraction sont étendues aux nombres décimaux (positifs ou négatifs). Il est possible de mettre en évidence que soustraire un nombre revient à additionner son opposé, en s’appuyant sur des exemples à valeur générique du type : 3,1 - (-2) = 3,1 + 0 - (-2) = 3,1 + 2 + (-2) - (-2), donc 3,1 - (-2) = 3,1 + 2 + 0 = 3,1 + 2 = 5,1
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    Les nombres complexes sont juste $\R^2$ avec des opérations cool $(x,y), (x',y')\mapsto (x+x', y+y')$ et $(x,x'), (y,y') \mapsto (xx'-yy', xy'+x'y)$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Homo Topi
    Modifié (October 2023)
    @Foys tu fais clairement exprès. Non, je n'ai pas dit que toute création humaine se devait d'être un outil, et tu sais que ce n'est pas ce que j'ai dit. Tu es trop intelligent pour interpréter ça comme ça honnêtement, tu choisis de lire bêtement exprès. J'ai dit que tout objet mathématique est d'abord apparu comme un outil. Si tu n'es pas d'accord avec ça, tu te dresses contre une armée de didacticiens des mathématiques, pas contre moi. Ne fais pas non plus l'amalgame entre didactique et pédagogie, tu peux détester ce que tu appelles le "pédagogisme" autant que tu veux, la didactique c'est une vraie science et la didactique des mathématiques est le domaine de recherche de vrais mathématiciens.
    Pour reprendre ce que disait @JLapin et rajouter à ce que disait @verdurin : effectivement le formalisme mathématique permet de décrire tous les nombres qu'on a construits comme étant des ensembles, mais ça (merci Patrick Dehornoy) c'est juste une *modélisation* de notre concept inné de quantité. Et effectivement, quand on s'efforce de tout faire dans le formalisme mathématique, on est obligé de faire des choses comme "les nombres réels sont des classes d'équivalences de limites de suites de fractions" qui n'ont techniquement aucun sens ni raison d'être quand on dessine un segment sur une feuille et qu'on se demande "ce point est à quelle distance de 0". Mathématiquement on décrit effectivement toujours *quels* nombres on considère parce que mathématiquement ce sont des objets distincts.
  • @verdurin : pour Euclide je sais bien que c'est ce que vous disiez, c'était une citation, mais le bouton "Citer" a disparu chez moi..

    Qu'il n'y ait pas de définition précise et mathématique de "nombre" n'est pas gênant, il faut juste se retenir d'écrire des formules comme "soit $x$ un nombre ...", alors qu'on peut le faire avec des paquets d'ensembles de nombres (par exemple la suite des algèbres construites sur IR par la méthode de Cayley- Dickson)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Foys : Un sujet typique de la didactique (  :D ) est par exemple de voir quelles stratégies déductives mettre en place pour que cette définition de la multiplication complexe, qui a l'air complètement sortie de nulle part, puisse naturellement apparaitre. Exemples de propositions déductives : 

    • Introduction géométrique où les nombres complexes ne servent qu'à encoder des similitudes directes. Le produit naturel est alors la composition des similitudes qui se traduit de façon cartésienne par le produit complexe que tu as défini.
    • Approche par analyse-synthèse. On veut une extension de $\R$ capable de répondre à tel et tel problème (exemplairement la résolution des équations de degré $3$), donc j'ai besoin d'avoir telle et telle propriété. Je fais donc ma liste de course (associativité, distributivité, compatibilité avec les opérations de $\R$, etc.) et je démontre qu'il n'y a grosso modo qu'un seul produit raisonnable qui permet de remplir le cahier des charges. (En réalité il y en a un autre, le même que le tien mais avec les $-$ remplacés par des $+$ et réciproquement.)
    Comme quoi on peut donner du sens à des concepts mathématiques ... en faisant des mathématiques.

    Ce qui me permet de répondre aussi à @Héhéhé. Aucune de ces deux approches ne serait viable sans une certaine culture concernant l'histoire des mathématiques. La seconde approche est d'ailleurs peu ou prou celle d'Hamilton.

    @umrk : C'est tout l'intérêt de la fonction module. Grâce à elle, on passe des complexes aux réels et on peut refaire des majorations. :smiley:
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    On ne peut pas faire comprendre complètement ce qu'est un nombre qu'avec des mots, il faut aussi en faire l'expérience pour comprendre ce que c'est. Pour moi, c'est la meilleure première réponse qu'on puisse donner.
    D'ailleurs, ce n'est pas spécifique aux nombres mais en réalité à toute chose, le monde ne se résume pas au langage et aux mots et c'est peut-être le paradoxe et le choix d'une appréhension cognitive biaisée : cela vaut aussi dans le domaine des mathématiques.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Il n'y a absolument pas besoin de connaitre cette anecdote historique sur l'origine des nombres complexes pour motiver l'introduction des nombres complexes lors d'un cours sur le sujet.

    Quand j'introduis mon cours sur la réduction, je me fous pas mal de savoir qui a découvert/introduit la notion de valeur propre et dans quel but. Ca ne m'empêche absolument pas de motiver le début de ce cours !

    L'introduction de notions historiques dans les cours de maths est une espèce de marotte qui revient régulièrement, je ne sais pas pourquoi. Si personne ne le fait, c'est qu'il y a une raison : la nature du savoir mathématique et la façon de faire (et écrire) des mathématiques évolue tellement au cours du temps que tout devient assez vite obsolète (surtout dans la forme, parfois un peu sur le fond), des domaines entiers ont été absorbés par d'autres plus généraux, etc. Personne ne travaille sérieusement avec des bouquins de 1900 (sauf les historiens des mathématiques), ça serait complètement contre-productif. 

    Je ne connais aucun exemple d'approche historique qui permet de mieux comprendre un concept mathématiques qu'un cours clair (avec une introduction motivée) sur le sujet.
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    D'un autre coté, ce n'est vraiment la question.
    Le sujet est plutôt si des éléments historiques ayant apportés une évolution en mathématique (ce dont tu parles), sont-ils de l'ordre du nécessaire, de l'utile, du superflus, de l'indispensable, de source(s) de confusions etc.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • hx1_210
    Modifié (October 2023)
    J'ai lu une excellente définition du nombre dans un bouquin de Gaston Casanova qui est le meilleur livre de maths que je n'ai jamais lu.
    et pour Héhéhé, les mathématiques servent à résoudre des problèmes. Connaitre les problèmes historiques qui ont conduit au développement d'une théorie est important si ce n'est essentiel à sa compréhension car on comprend mieux la dynamique interne de la théorie, ses rebonds, ses dépassements. Que tu t'en foutes est un avis personnel dont tes élèves ne devrait pas pâtir.
  • Donne-moi un exemple de théorie où c'est essentiel de connaitre l'approche historique pour la comprendre.
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    Réponse : Donnes-nous un exemple où c'est contraire à la compréhension d'une théorie ?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Je n'ai jamais dit que c'était contraire à la compréhension d'une théorie.
  • biguine_equation
    Modifié (October 2023)
    La genèse de la théorie des représentations des groupes finis mérite qu’on s’y attarde.
    C’est une période d’effervescence qui a amené à la création de nouveaux concepts. L’approche chronologique est intéressante dans ce cas.
    Bien sûr, on peut étudier la table de caractères d’un groupe (à l’oral de l’agrégation par exemple) sans avoir jamais entendu les noms de Catalan, Dedekind, Frobenius... C’est dommage il me semble.
  • Foys
    Modifié (October 2023)
    L'approche historique et l'approche dite "motivée" ("akwassassert") sont quasiment la même chose (à ceci près que dans le premier cas on cite des gens concrets du passé qui auraient utilisé la notion citée comme on prétend qu'elle devrait l'être). Et non seulement elles sont superflues mais en plus elles prennent du temps à d'autres activités plus utiles comme les mathématiques et donnent une idée fausse de ce qu'est une définition (une définition est strictement une description fidèle de l'objet, et l'obligation et non la liberté de l'assortir de commentaires est une entrave à la liberté pédagogique et pour l'élève l'acquisition d'une mauvaise habitude).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Deux précisions importantes : 

    1. Je n'ai jamais dit que l'histoire des mathématiques n'était pas intéressante ou nuisible, ou que sais-je. 

    2. Je précise que je ne fais pas une approche "akwassassert".

    Quand je parle d'une approche motivée, je pars d'une problématique de mathématiques pour faire des mathématiques.

    Exemple : mon cours de réduction commence avec la recherche d'une base $(e_1,\ldots,e_n)$ dans laquelle la matrice d'un endomorphisme $u$ donnée (en dimension finie) est diagonale (motivation claire pour tout le monde : les matrices diagonales sont les plus agréables à manipuler). Une rapide étape d'analyse permet de voir que nécessairement $u(e_i) = \lambda_i\,e_i$ (où $\lambda_i$ est le $i$-ième coefficient de la matrice diagonale), ce qui conduit à la définition de valeur propre et vecteur propre, début du cours.
  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Peut-être qu'on ne met pas tous la même chose derrière "akwassassert"
    Pour moi une réponse peut être rendre les matrices plus agréables à manipuler et je trouve cela primordial contrairement à Foys.
    De toute façon, une définition qui ne servirait pas à résoudre des problèmes, je ne prends pas de risque à ne pas l'apprendre car elle ne me sera pas demandée à l'examen (oui oui, c'est ce que j'ai fait pendant ma scolarité et c'est une très bonne habitude selon moi).
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Cyrano
    Modifié (October 2023)
    Le "problème" des grands professeurs/chercheurs c'est qu'ils voient les mathématiques comme un jeu depuis qu'ils sont petits. Evidemment qu'ils se moquent des "approches historiques", tout ce qui compte étant de s'amuser avec des symboles et des règles prescrites à l'avance. Ils ne voient pas pourquoi il faudrait "donner du sens" à ce qui est équivalent pour eux au jeu d'échecs ou au sudoku. 

    Dans les faits pourtant la plupart de nos étudiants ne sont pas comme ça. Si les mathématiques ne sont pas motivées par des tâches concrètes (et quand je dis concret, je prends en compte des tâches purement mathématiques), alors les cours de mathématiques deviennent des simples "visites de musée" ou l'on fait défiler des peintures devant les élèves et où l'on espère que certains vont les trouver belles. (Pas de chance, ce n'est pas le cas pour la plupart des gens). C'est typiquement ce que Chevallard appelle le monumentalisme. 

    Il est faux de croire qu'une approche par "tâche" va prendre tellement de temps qu'on aura plus la possibilité d'exercer nos étudiants aux mathématiques formelles. Dans le cas de la diagonalisation, ça ne prend pas des heures d'expliquer qu'avoir une forme diagonale est essentiellement pratique car elle permet de calculer rapidement des puissance $n^{\text{ième}}$ de matrices, puissances qui apparaissent dans des modèles prédictifs à long terme avec $n\to +\infty.$  

    De plus, cela ne tue en rien la liberté pédagogique, le professeur étant libre de "donner du sens" aux concepts de mille façons possibles. Malheureusement, je ne suis pas aussi optimiste qu'Héhéhé. Je crois que la raison principale de ces manques vient surtout d'une relative inculture concernant l'histoire des mathématiques. Et d'un côté c'est bien normal car il n'est pas nécessaire d'être calé en géométrie grecque pour pouvoir faire de la recherche en géométrie contemporaine. 
  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Je suis d'accord sur le problème que tu évoques mais les grands chercheurs/professeurs que je connais (dont je ne fais évidemment pas partie) cherchent à rendre leur enseignement efficace, et y arrivent avec plus ou moins de succès en essayant de donner du sens.
    Le problème que tu évoques touche plutôt ceux qui aimeraient être des grands chercheurs/professeurs mais qui ne le sont pas, ou pas encore, et qui se cachent derrière "oui, mais j'ai donné les définitions, si les étudiants ne comprennent pas, c'est qu'ils sont nuls, c'est que dans les classes précédentes, ils ont fait n'importe quoi..."
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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