Équation différentielle, théorème fondamental de l'analyse

jc-marseille
Modifié (October 2023) dans Analyse
J'ai du mal avec l'exercice suivant.
http://web.archive.org/web/20230323134249/https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/136/2038/
L'auteur utilise le théorème fondamental de l'analyse et écrit :
$\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}$
Suivi de : $A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0$.
Jusqu'ici, pas de probleme.

Question, comment arrive-t-il à :
$\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}= e^{-\alpha T +      \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}$
Est-ce parce que $A'(x) = a(x+T) - a(x) = a(T) - a(0)$, par conséquent $A(x)=\int_0^T a(t) dt$ ?
Est-il nécessaire de passer par le théorème fondamental de l'analyse ? N'a-t-on pas
$\int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$  de facto puisque $a$ est périodique de période $T$ ?
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Réponses

  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    N'a-t-on pas
    $\int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$  de facto puisque a est périodique de période $T$ ?

    Et comment démontres-tu cette assertion ?

  • Je n'ai pas lu le document, personnellement je n'aurais pas utilisé tel quel le théorème fondamental de l'analyse, mais plutôt un changement de variable. Après d'une certaine manière, tout cela est plus ou moins relié ...
  • Le changement $u=t-x$ n'est pas si facile à gérer ensuite...
  • jc-marseille
    Modifié (October 2023)
    Merci de vos reponses...
    Je reformule ma question, ceci est-il vrai ?

    Comme $a$ est $T$-periodique, on a que : 
    $A'(x) = a(x+T) - a(x) = a(T) - a(0) \geq \int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$,   par conséquent :
    $\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}= e^{-\alpha T +      \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}$
  • JLapin ecrit:

    "Le changement $u=t−x$ n'est pas si facile à gérer ensuite..."

    Comment le gererais tu? 
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    Je ne comprends rien à ceci
    Comme a est T-périodique, on a que:
    A′(x)=a(x+T)−a(x)=a(T)−a(0)=>∫x+Txa(t)dt=∫T0a(t)dt,

    Pour démontrer l'égalité qui t'intéresse, dérive par rapport à $x$.

  • jc-marseille
    Modifié (October 2023)
    Bonsoir Jlapin - 
    Selon l'énoncé de l'exercice, lien ci-dessus,

    On a $"a"$ une fonction $T$-périodique, et l'auteur conclut que :
    puisque  $A(x)=\int_x^{x+T}a(t) dt $ alors
    $A'(x) = a(x+T) - a(x) =>  \int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$
    Comment arrive-t-il à la dernière égalité ?
  • Pour démontrer l'égalité qui t'intéresse, dérive par rapport à x
  • math2
    Modifié (October 2023)
    J'avoue que je ne comprends pas (peut-être parce que je ne lis que le fil et non le document, et ne réponds qu'à la fin de la question) :
    $\int_x^{x+T}a(t)dt=\int_0^Ta(s+T)ds$
    en ayant posé $t=s+T$, puis $a$ étant $T-$périodique, $a(s+T)=a(s)$.
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    Si tu poses $t=s+T$, tes nouvelles bornes sont $x-T$ et $x$, pas $0$ et $T$.
    Si on veut faire des changements de variables par translation, il faut commencer par fixer $kT$ un multiple entier de $T$ qui se trouve entre $x$ et $x+T$, découper avec la relation de Chasles, faire un changement de variable par translation dans chaque intégrale (pas le même), puis recoller.
    Sinon, on peut aussi dériver par rapport à $x$ (l'intégrande est continue), ça va plus vite...
  • jc-marseille
    Modifié (October 2023)
    En suivant les instructions de JLapin.
    On choisit $k \in N \ | \ kT \in]x, x+T[$ on a alors par la relation de Chasles:
    $\int_x^{x+T}a(t)dt=\int_x^{kT} a(t)dt + \int_{kT}^{x+T} a(t)dt$
    Pour la première intégrale du second membre, on pose $s=t-T$
    Pour la deuxième intégrale du second membre on pose $s=t-2T$
    On obtient alors :
    $\int_x^{x+T}a(t)dt= \int_{kT-2T}^{kT-T} a(s)ds$
    Après un deuxième changement de variable $u=s-kT+2T$ on arrive bien a`:
    $\int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$
    Merci JLapin !
    Par contre, je ne comprends toujours pas l'option proposée qui consiste à dériver % à x l'intégrale ? De quelle intégrale s'agit-il?
    Merci encore.
    - jc
  • L'intégrale $\int_x^{x+T} a(t)dt$.
  • jc-marseille
    Modifié (October 2023)
    c'est ce que j'avais fait au tout debut.

    $A'(x) = a(x+T) - a(x) = a(T) - a(0) \Rightarrow \int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$
  • Et je répète que ton implication est foireuse. Essaye plutôt de simplifier $A'(x)$...
  • je vois pas comment simplifier A'(x)... pour enfin arriver a` l'egalite' des 2 integrales. 
    Si a est periodique, son aire de x a` x+T est egale a` celle de 0 a` T d'ou` l'egalite' des 2 integrales... quelque chose doit m'echapper...
  • Ben $a$ est périodique, donc $A'(x)=0$ donc $A$ est constante, égale à $A(0)$.
  • jc-marseille
    Modifié (October 2023)
    C'est beau.
    $A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0$
    On a alors :

    $\forall \ x \in \R, \ A(x) = C$  ($C$  constante) et donc $A(x) = A(0) = \int_0^T a(t) dt$   et on a bien $ \int_{x}^{x+T} a(t) =  \int_0^T a(t)$
    Cordiallement
    - jc
  • Autre méthode pas si horrible :
    J'écris avec la relation de Chasles : $\displaystyle \int_{0}^T a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^x a(t) \, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{x}^{x+T} a(t) \, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{x+T}^T a(t) \, \mathrm{d}t$.
    Je me concentre sur $\displaystyle \int_{x+T}^T a(t) \, \mathrm{d}t$ et j'effectue le changement de variables : $u=t-T$. (Soit $t=u+T$).
    On obtient alors : $\displaystyle \int_{x+T}^T a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{x}^0 a(u+T) \, \mathrm{d}u=-\displaystyle \int_{0}^x a(u) \, \mathrm{d}u$ (car la fonction $a$ est $T$-périodique).
    Conclusion : $\displaystyle \int_{0}^T a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^x a(t) \, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{x}^{x+T} a(t) \, \mathrm{d}t-\displaystyle \int_{0}^x a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{x}^{x+T} a(t) \, \mathrm{d}t$.
    Ce n'est pas si long que ça ! :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Elegant... merci Nicole
  • Nico* :D;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
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