Équation différentielle, théorème fondamental de l'analyse

jc-marseille

J'ai du mal avec l'exercice suivant.
http://web.archive.org/web/20230323134249/https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/136/2038/
L'auteur utilise le théorème fondamental de l'analyse et écrit :
$\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}$
Suivi de : $A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0$.
Jusqu'ici, pas de probleme.

Question, comment arrive-t-il à :
$\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}= e^{-\alpha T +      \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}$
Est-ce parce que $A'(x) = a(x+T) - a(x) = a(T) - a(0)$, par conséquent $A(x)=\int_0^T a(t) dt$ ?
Est-il nécessaire de passer par le théorème fondamental de l'analyse ? N'a-t-on pas
$\int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$  de facto puisque $a$ est périodique de période $T$ ?

JLapin

N'a-t-on pas
$\int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$  de facto puisque a est périodique de période $T$ ?

Et comment démontres-tu cette assertion ?

math2

Je n'ai pas lu le document, personnellement je n'aurais pas utilisé tel quel le théorème fondamental de l'analyse, mais plutôt un changement de variable. Après d'une certaine manière, tout cela est plus ou moins relié ...

JLapin

Le changement $u=t-x$ n'est pas si facile à gérer ensuite...

jc-marseille

Merci de vos reponses...
Je reformule ma question, ceci est-il vrai ?

Comme $a$ est $T$-periodique, on a que : 
$A'(x) = a(x+T) - a(x) = a(T) - a(0) \geq \int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$,   par conséquent :
$\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}= e^{-\alpha T +      \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}$

jc-marseille

JLapin ecrit:

"Le changement $u=t−x$ n'est pas si facile à gérer ensuite..."

Comment le gererais tu? 

JLapin

Je ne comprends rien à ceci

Comme a est T-périodique, on a que:
A′(x)=a(x+T)−a(x)=a(T)−a(0)=>∫x+Txa(t)dt=∫T0a(t)dt,

Pour démontrer l'égalité qui t'intéresse, dérive par rapport à $x$.

jc-marseille

Bonsoir Jlapin - 
Selon l'énoncé de l'exercice, lien ci-dessus,

On a $"a"$ une fonction $T$-périodique, et l'auteur conclut que :
puisque  $A(x)=\int_x^{x+T}a(t) dt $ alors
$A'(x) = a(x+T) - a(x) =>  \int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$
Comment arrive-t-il à la dernière égalité ?

JLapin

Pour démontrer l'égalité qui t'intéresse, dérive par rapport à x

math2

J'avoue que je ne comprends pas (peut-être parce que je ne lis que le fil et non le document, et ne réponds qu'à la fin de la question) :

$\int_x^{x+T}a(t)dt=\int_0^Ta(s+T)ds$

en ayant posé $t=s+T$, puis $a$ étant $T-$périodique, $a(s+T)=a(s)$.

JLapin

Si tu poses $t=s+T$, tes nouvelles bornes sont $x-T$ et $x$, pas $0$ et $T$.

Si on veut faire des changements de variables par translation, il faut commencer par fixer $kT$ un multiple entier de $T$ qui se trouve entre $x$ et $x+T$, découper avec la relation de Chasles, faire un changement de variable par translation dans chaque intégrale (pas le même), puis recoller.

Sinon, on peut aussi dériver par rapport à $x$ (l'intégrande est continue), ça va plus vite...

jc-marseille

En suivant les instructions de JLapin.
On choisit $k \in N \ | \ kT \in]x, x+T[$ on a alors par la relation de Chasles:
$\int_x^{x+T}a(t)dt=\int_x^{kT} a(t)dt + \int_{kT}^{x+T} a(t)dt$
Pour la première intégrale du second membre, on pose $s=t-T$
Pour la deuxième intégrale du second membre on pose $s=t-2T$
On obtient alors :
$\int_x^{x+T}a(t)dt= \int_{kT-2T}^{kT-T} a(s)ds$
Après un deuxième changement de variable $u=s-kT+2T$ on arrive bien a`:
$\int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$
Merci JLapin !
Par contre, je ne comprends toujours pas l'option proposée qui consiste à dériver % à x l'intégrale ? De quelle intégrale s'agit-il?
Merci encore.
- jc

JLapin

L'intégrale $\int_x^{x+T} a(t)dt$.

jc-marseille

c'est ce que j'avais fait au tout debut.

$A'(x) = a(x+T) - a(x) = a(T) - a(0) \Rightarrow \int_x^{x+T}a(t) dt = \int_0^T a(t) dt$

JLapin

Et je répète que ton implication est foireuse. Essaye plutôt de simplifier $A'(x)$...

jc-marseille

je vois pas comment simplifier A'(x)... pour enfin arriver a` l'egalite' des 2 integrales. 
Si a est periodique, son aire de x a` x+T est egale a` celle de 0 a` T d'ou` l'egalite' des 2 integrales... quelque chose doit m'echapper...

JLapin

Ben $a$ est périodique, donc $A'(x)=0$ donc $A$ est constante, égale à $A(0)$.

jc-marseille

C'est beau.
$A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0$
On a alors :

$\forall \ x \in \R, \ A(x) = C$  ($C$  constante) et donc $A(x) = A(0) = \int_0^T a(t) dt$   et on a bien $ \int_{x}^{x+T} a(t) =  \int_0^T a(t)$
Cordiallement
- jc

NicoLeProf

Autre méthode pas si horrible :

J'écris avec la relation de Chasles : $\displaystyle \int_{0}^T a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^x a(t) \, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{x}^{x+T} a(t) \, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{x+T}^T a(t) \, \mathrm{d}t$.

Je me concentre sur $\displaystyle \int_{x+T}^T a(t) \, \mathrm{d}t$ et j'effectue le changement de variables : $u=t-T$. (Soit $t=u+T$).

On obtient alors : $\displaystyle \int_{x+T}^T a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{x}^0 a(u+T) \, \mathrm{d}u=-\displaystyle \int_{0}^x a(u) \, \mathrm{d}u$ (car la fonction $a$ est $T$-périodique).

Conclusion : $\displaystyle \int_{0}^T a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^x a(t) \, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{x}^{x+T} a(t) \, \mathrm{d}t-\displaystyle \int_{0}^x a(t) \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{x}^{x+T} a(t) \, \mathrm{d}t$.
Ce n'est pas si long que ça !

jc-marseille

Elegant... merci Nicole

NicoLeProf

Nico*