Parité et somme de carrés parfaits

gebrane

Bonjour, j'ai un exercice de niveau lycée.

Démontrez, par un raisonnement basé sur la parité, les deux assertions suivantes :
1) Si 2n + 1 est un carré parfait, alors n + 1 est la somme de deux carrés parfaits.
2) Si 3n + 1 est un carré parfait, alors n + 1 est la somme de trois carrés parfaits.

J'arrive à voir l'assertion 1 par parité. On a 2n+1 est impair donc p² et p sont aussi impairs, d'où p=2k+1 et on arrive à 
n+1=k²+(k+1)²

Je n'arrive pas à voir un raisonnement par parité pour la deuxième

Médiat_Suprème

Pour la question 2 ce n'est pas une question de parité, mais de reste modulo 3 (donc assez semblable à la question 1)

gebrane

La question demande par parité, j'ai un raisonnement sans parité  comme tu dis reste mod3

Médiat_Suprème

On peut d'ailleurs facilement généraliser : 
Si kn+1 est un carré parfait, alors n+1 est somme de k carrés parfaits (à partir de k = 4 on a un résultat plus général, bien sûr) et la démonstration est la "même".

gebrane

Je crois que l'élève a mal copié du tableau l'exercice extra.
Une question : dans ta généralisation si  kn+1 est un carré parfait, alors n+1 est somme de k carrés parfaits, est ce que c'est la somme de k carrés parfaits non triviaux ( un carré parfait trivial est 0² ) ou bien on a besoin de compléter par des 0²
edit en réfléchissant, on a besoin de compléter par des 0² .; pour k=6, exemple 6x4+1=5², mais pour écrire que 5 sous forme de la somme de 6 carrés parfaits, on a besoin de compléter par des 0².

Médiat_Suprème

 6x3+1=5², : vous êtes sûr ?
En faisant la démonstration, qui est la même que pour 2n+1, vous aurez les valeurs de ces carrés

gebrane

C'est 6*4+1=5² j'ai corrigé

gebrane

As-tu une preuve du cas général sans supposer que k est un nombre premier ?

Si $1 + nk = m^2$, alors $ nk=(m-1)(m+1)$ 

 et donc ( **en supposant de plus que $k$ est un nombre premier**), il existe un enter $l$ tel que  $m = lk\pm 1$.

d'où  $nk = lk(lk\pm2)$, et $n = l^2k\pm2l$, finalement 

$$n+1 = \underbrace{l^2 + l^2 + \cdots + l^2}_{(k-1) \text{ fois}.} + (l \pm 1)^2.$$

gai requin

@gebrane : Soit $d=\mathrm{pgcd}(m+1,k)$.
On a $nk/d=(m-1)(m+1)/d$ avec $(m+1)/d$ inversible modulo $k/d$ donc il existe $l$ tel que $m=1+lk/d$.
D'où $n+1=l^2(k/d-1)+(l+1)^2$.

gebrane

Merci, preuve astucieuse @gai requin
Question difficile pour moi.

 Quels sont les entiers k pour lesquels l'assertion suivante est vraie :
si kn + 1 est un carré parfait, alors n + 1 est la somme de k carrés parfaits non triviaux (c'est-à-dire, on n'a pas besoin de compléter par des 0²) ?

Edit. Rassurez-moi,  c'est une question facile ou difficile
Une condition suffisantes sur $k>1$ est que $\mathrm{pgcd}(m+1,k)=1$ car dans ce cas d’après GR  $n+1=l^2(k-1)+(l+1)^2$  ( (remarquez si $l=0$ alors $m=1$ et donc $n=0$). Je ne sais pas si la condition est nécessaire si $\mathrm{pgcd}(m+1,k)>1$ alors 
 $n+1<l^2(k-1)+(l+1)^2$ mais cela ne prouve rien.

jandri

Il y a une erreur dans le résultat donné par gai requin, on doit trouver $ n+1=(k−1)(l/d)^2+(l/d+1)^2$ ce qui donne bien une somme de $k$ carrés non nuls quand $d=1$.

Plus généralement si $m=kl+\varepsilon$ avec $\varepsilon=\pm1$ on obtient $n+1=(k-1)l^2+(l+\varepsilon)^2$ qui est bien une somme de $k$ carrés non nuls sauf si $l=1$ et $\varepsilon=-1$, c'est-à-dire $n=k-2$.

On en déduit pour $k=p^{\alpha}$ ou $k=2p^{\alpha}$ avec $p$ premier impair :
si $nk+1=m^2$ avec $n\geq k-1$ alors $n+1$ est une somme de $k$ carrés non nuls.

On peut le montrer aussi quand $k=4$ en distinguant les cas $m=4t+1$ et $m=4t+3$.

Le cas général ($k$ entier quelconque) me semble compliqué.

gai requin

Merci @jandri, j’ai effectivement oublié de diviser $m+1$ par $d$ pour le calcul de $n+1$.

Par ailleurs, le théorème des quatre carrés permet d’assurer que $n+1$ est la somme d’au plus $k$ carrés pour tout $k$.

gebrane

Merci Jandri.

• Gai requin tu voulais dire ...n+1 est la somme d’au plus k carrés non nuls  ...