Les suites de transformations impaires (STI)

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Modifié (October 2023) dans Shtam

Suite de Transformations Impaires (STI)

La Suite de Transformations Impaires (STI) concerne les nombres impairs et vise à atteindre la valeur "1" par le biais de transformations successives. Chaque nombre impair est soumis à l'une des trois transformations possibles : $D$, $V$ ou $W$. Pour un nombre impair donné $i$, il existe une et une seule transformation valide parmi ces trois.

Transformations :

1.      V : Lorsque $i$ est impair et que $\frac{3i+1}{2}$ est également impair et entier, $i$ est transformé en $\frac{3i+1}{2}$.

2.      W : Si $i$ est impair et $\frac{3i+1}{4}$ est également impair et entier, $i$ est transformé en $\frac{3i+1}{4}$.

3.      D : En l'absence des conditions pour V et W, $i$ est toujours transformé en $\frac{i-1}{4}$.

Représentation :

Une STI peut être représentée par une séquence de lettres $D$, $V$ et $W$, correspondant à la série d'opérations appliquées pour transformer un nombre impair $i$ en $1$. Toute séquence STI débute par un $D$.

Exemple pour $i = 8097$ : DVDWVVWDWWVWDWVVDWWWDWVWW. 

En décodant cette séquence de gauche à droite, D équivaut à : $4i+1$, V à : $\frac{2i-1}{3}$, W à : $\frac{4i-1}{3}$), 

soit : $1, 5, 3, 13, 17, 11, 7, 9, 37, 49, 65, 43, 57, 229, 305, 203, 135, 541, 721, 961, 1281, 5125, 6833, 4555, 6073, 8097$

Propriétés :

-        Toute combinaison des opérations $D$, $V$, et $W$ appliquée à un nombre impair mène toujours à 1.

-        Chaque nombre impair $i$ est associé à une unique séquence STI.

-        Pour une séquence de longueur $L$, le nombre de combinaisons valides est bien inférieur à $3^L$. Pour $L=26$, il existe 308442 combinaisons valides soit 0.00001% de 3^26.

-        Les combinaisons au début d'une séquence sont plus restreintes que celles à la fin. Ainsi, pour une sous-séquence de 6 lettres, seulement 11 combinaisons sont possibles au début contre 3^6 à la fin (si la séquence comprend au moins 24 lettres). 

-        Lorsque $L$ croît, la distribution des opérations $D$, $V$, et $W$ converge vers 60%, 20% et 20%, respectivement.

-        Pour générer des STI valides jusqu'à une longueur maximale $L$, on peut se référer à la fonction Python generate_valid_sequences (voir le script python joint).

-        Sous Excel, la transformation de $i$ peut être obtenue avec la formule : i'=SI(ET(EST.IMPAIR((3*i+1)/2);ENT((3*i+1)/2)=(3*i+1)/2);(3*i+1)/2;SI(ET(EST.IMPAIR((3*i+1)/4);ENT((3*i+1)/4)=(3*i+1)/4);(3*i+1)/4;SI(ET(EST.IMPAIR((i-1)/4);ENT((i-1)/4)=(i-1)/4);(i-1)/4;"")))


Comparaison entre la Suite de Transformations Impaires (STI) et la suite de Collatz:

1) Conversion de la suite de Collatz en STI :

   - Pour obtenir la STI à partir de la suite de Collatz, on se concentre sur les étapes paires $p$ de la suite de Collatz.

   - Chaque étape paire est transformée en i en utilisant la relation $i = \frac{p-1}{3}$. Si ce calcul produit un nombre entier impair, cette valeur devient une étape de la STI.

Exemple pour $i = 403$ :

   - STI : 403, 605, 151, 227, 341, 85, 21, 5, 1.

   - Collatz : 403, 1210, 605, 1816, 908, 454, 227, 682, 341, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

   - Conversion de Collatz en STI : non pair, 403, non pair, 605, non entier, 151, non pair, 227, non pair, 341, non entier, 85, non entier, 21, non pair, 5, non entier, 1, non entier, non pair (où "non pair" signifie qu'on élimine l'étape impaire et "non entier" signifie que $i = \frac{p-1}{3}$ ne produit pas un nombre entier).

2) Relation entre les étapes impaires de la suite de Collatz et la longueur de la suite :

   - Si $e$ représente le nombre d'étapes impaires de la suite de Collatz et $x$ la longueur totale de la suite, alors :

$e = V + W + 1$

$x = 3 + 2D + 2V + 3W$

Où $D$, $V$, $W$ représentent le nombre d'occurrences des transformations $D$, $V$, $W$ dans la STI respectivement.

La STI est en réalité une version raffinée de la suite de Collatz. Elle conserve les propriétés fondamentales de la suite de Collatz tout en offrant un modèle simplifié, ce qui la rend plus aisée à étudier.


Analyse Modulaire des Transformations dans la STI

Contexte :

La Suite de Transformations Impaires (STI) permet une classification des transformations via leur classe modulaire. En exprimant chaque étape de la STI sous la forme $16k + r$, il est possible d'examiner comment les classes modulaires évoluent à travers les transformations $D$, $V$, et $W$.

Propriétés Observées :

1.      Pour toute transformation de $i$ en $i'$ via une opération $D$, $V$, ou $W$, la classe modulaire de $i'$ peut être exprimée sous la forme $64k + r$.

2.      La transformation $V$ se distingue de $D$ et $W$ car elle a deux valeurs possibles pour $r$.

Tableau des Classes Modulaires :


La représentation modulaire fournit un moyen puissant de comprendre les transformations dans la STI. À travers cette classification, il est possible de prédire directement la forme modulaire d'un nombre impair $i'$ et sa transformation antérieure, simplifiant ainsi l'analyse de la suite.

Caractérisation des Transformations par Classes Modulaires :

Chaque transformation peut être vue comme un passage d'une classe modulaire à une autre, noté 64k+r. Les transformations, dénommées D, V et W, changent cette classe modulaire d'une manière spécifique.

Tableau de Transformations Modulaires :

En analysant 462881 impairs dans les STI de longueur $L \leq 25$, nous obtenons le tableau suivant des probabilités de transition entre différentes classes modulaires, selon les transformations $D$,$V$, $W$ :


Note : ces données des STI pour $L<=25$ coïncident avec les suites de Collatz de longueur $x<=54$ 

Interprétation :

- Chaque nombre impair de la forme $64k+r$ est transformé en un autre nombre de la même forme selon une des trois transformations $D$, $V$, $W$.

- L'impair transformé réintègre alors le tableau sous cette nouvelle forme, créant ainsi un cycle.

- Avec une probabilité moyenne $p(D+W)$ de 80%, le cycle est amené à converger vers 1.

Conclusion :

Prenons l'exemple d'un dé à 10 faces : 6 d'entre elles sont estampillées "D", 2 portent la marque "W", et les 2 restantes sont marquées "V". Lors de tirages successifs, on pourrait temporairement voir une série de "V" prédominer. Cependant, sur une série de lancers plus étendue, les probabilités combinées de "D" et "W" (cumulant 80%) tendent à dominer, menant ainsi à une convergence vers le chiffre 1.

Cette analogie se reflète fidèlement dans le comportement des STI. Les cycles, à l'instar des lancers du dé, se poursuivent jusqu'à ce que la série converge inévitablement vers 1. Ainsi, quel que soit le nombre impair initial $i$, il converge finalement vers 1 après un certain nombre de transformations.

La STI offre une perspective probabiliste détaillée sur la convergence vers 1. Étant donné la cohérence entre les propriétés des STI et celles des suites de Collatz, il est raisonnable de postuler que ce modèle probabiliste explique adéquatement la convergence observée dans les suites de Collatz.

Réponses

  • PMF
    PMF
    Modifié (October 2023)

    Formule de Taux de Décroissance pour les Suites de Transformations Impaires (STI)

    Introduction

    La formule de taux de décroissance $ t $ joue un rôle crucial dans l'analyse des Suites de Transformations Impaires (STI), une séquence de nombres évoluant selon des règles de transformation spécifiques. Cette formule est définie comme suit:

    $ t = 1.5^V \cdot 0.75^W \cdot 0.25^D $

    où:

    - $ V $ représente le nombre total de transformations de type V,

    - $ W $ le nombre total de transformations de type W,

    - $ D $ le nombre total de transformations de type D.

    Interprétation

    La valeur de $ t $ détermine l'état et la tendance de la STI :

    - Si $ t > 1 $, lLa STI est active et traverse des phases de croissance et de décroissance. Un $t$ croissant indique une phase où la croissance s'accélère, tandis qu'un $t$ décroissant indique un ralentissement de la croissance, voire une phase de décroissance.

    - Si $ t < 1 $, la STI entre dans une phase nette de décroissance, avec des fluctuations qui se resserrent progressivement autour d'une tendance baissière. Dans cette phase, la convergence vers 1 est inéluctable, bien qu'il puisse y avoir des moments temporaires de croissance.

    Prenons l'exemple de la STI initiée à $ i = 13152844643 $, qui subit 263 transformations, se décomposant en 155 transformations de type V, 58 de type W et 50 de type D. Dans ce cas, la valeur de $ t $ est extrêmement faible, environ $ 0.0000000000880 $, à la fin de la STI.

    L'examen du graphique montre clairement que, même si $t$ fluctue, la tendance générale est une décroissance. Cela signifie que, bien que la STI puisse connaître des périodes de croissance, sur le long terme, la prédominance des transformations $D$ et $W$ entraîne inévitablement une réduction. 

    Application à un Fragment de STI

    L'analyse peut également s'appliquer à des segments spécifiques de la STI. Considérons un fragment de 51 transformations, s'étendant de $ i = 13152844643 $ à $ i = 117026438465 $. Ce segment implique 37 transformations de type V, 6 de type W et 8 de type D, aboutissant à une valeur de $ t $ d'environ $ 8.89742293 $, reflétant le ratio 117026438465/13152844643.

    Analyse Probabiliste

    Bien que des segments dominés par des transformations de type V puissent temporairement induire une croissance, la loi des grands nombres tend à favoriser une dominance des transformations de type D et W sur le long terme, assurant ainsi une tendance générale à la décroissance.

    Conclusion

    Bien que des fluctuations temporaires puissent survenir, la structure intrinsèque des STI garantit une tendance générale à la décroissance, soulignée par la formule de taux de décroissance $ t $. Cette analyse démontre comment, paradoxalement, l'extension de la STI augmente les chances de décroissance, conformément à la loi des grands nombres.


  • 123rourou
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    À partir du moment où tu ne fais que réduire la valeur du nombre, c'est pas très bizarre, non  (.../2) ou (.../4)
    remy
  • PMF
    PMF
    Modifié (October 2023)
    Cher @123rourou
    Les STI comportent des "montées" et des "descentes" comme les suites de Collatz
    D et W font "descendre" mais V fait monter :
    V : (3*i+1)/2
    W : (3*i+1)/4
    D : (i-1)/4
    Imagine que tu es par exemple au milieu d'une ile montagneuse et que tu veux gagner une des plages de l'ile.
    Ton parcours va comprendre des montées et des descentes en fonction du relief que tu vas rencontrer. Tu devras par exemple passer deux ou trois cols avant de trouver une descente finale vers la plage. Donc ton parcours final sera : altitude de départ + dénivelé positif (les montées rencontrées) = dénivelé négatif total.
    Si je pars de i = 8097, mon parcours vers 1 est DVDWVVWDWWVWDWVVDWWWDWVWW.
    Cela inclut 6D, 7V et 12W donc par 7 fois il a fallu redescendre ce qui avait été monté.
    On compte qu'il faut environ 1D pour 3V et 1W compense environ 1 V.
  • PMF
    PMF
    Modifié (October 2023)
    On essaie de générer efficacement des séquences valides en utilisant des probabilités de transition. La clé réside dans l'utilisation de données historiques pour déterminer la lettre suivante dans la séquence.
    Par exemple DVDWVVWDWWVWDWVVDWWWDWVWW est une séquence valide de 25 lettres pour i = 8097.
    Mais DVDWVVWDWWVWDWVVVWWWDWVWW ne correspond à rien.
    Conditions de l'Expérience :
    - Objectif : Ajouter 5 lettres à une séquence valide de 20 lettres pour obtenir une nouvelle séquence valide de 25 lettres.
    - Séquence de Base : Une séquence valide de 20 lettres a été choisie comme point de départ. Cette séquence en particulier avait 14 prolongations valides possibles parmi les $3^5$ (ou 243) combinaisons possibles de 5 lettres.
    Méthodologie :
    1. Base stochastique : Génération de séquences en utilisant des probabilités égales pour chaque lettre (D, V, W). 
    2. Ajustement basé sur l'observation : L'observation de la distribution des lettres dans les séquences connues (D: 60%, V et W 20% chacun) conduit à ajuster les probabilités de génération pour chaque lettre selon cette distribution.
    Résultats :
    - Avec des probabilités égales pour chaque lettre, l'approche était proche d'une tentative aléatoire. Comme il y a 14 bons résultats sur 243, nos tests sont proches de 5%
    - En ajustant les probabilités de génération selon la distribution observée des lettres, le taux de réussite a fluctué entre 19,5% et 22,1% sur des essais de 1000 séquences.
    L'adoption de probabilités de transition, en conjonction avec un ajustement basé sur des données empiriques, a optimisé la génération de séquences valides. Cette étude démontre la pertinence des données historiques et de l'adaptabilité dans la mise en œuvre de processus stochastiques pour améliorer la pertinence des résultats.
  • Les Suites de Transformations Impaires ou STI sont une forme optimisée des suites de Collatz qui ne reposent que sur 3 transformations élémentaires :
    D : (i-1)/4
    V : (3*i+1)/2
    W : (3*i+1)/4

     En étudiant les étapes impaires des STI sous leur forme 64k+r, nous avons pu déterminer que les combinaisons possibles des formes 64k+r d’un impair quelconque avec son ou ses 2 prédécesseurs et son successeur peuvent être entièrement décrites dans 12 blocs pour k de 0 à 11, soit les 384 impairs de 1 à 767 ou 384 possibilités.

     Ces 384 combinaisons peuvent se ramener à 9 cas :
    1 : D-->D
    2 : D-->V
    3 : D-->W
    4 : DV-->D
    5 : DV-->V
    6 : DV-->W
    7 : DW-->D
    8 : DW-->V
    9 : DW-->W

    Pour mieux comprendre, prenons le cas de i = 3223.
    Sa forme 64k+r est 64k+23. Il peut avoir deux prédécesseurs possibles via la transformation D en 64k+29 : (12893-1)/4 = 3223 et via W en 64k+9 : (4297*3+1)/4=3223, et un successeur via V en 64k+35 : (3223*3+1)/2=4835. On peut donc dire que 3223 revient au cas DW-->V. Or dans notre analyse il suffit de savoir que le modulo 768 du 3223 est 151 pour l'associer à une combinaison d'un impair en 64k+23 ayant deux prédecesseurs possibles en 64k+29 ou 64k+9 et un successeur en 64k+35, ce qui a s'associe au cas 8 : DW-->V.
    Prenons maintenant un autre nombre dont le modulo 768 est 151 : 2455. Ces deux prédécesseurs sont 3273 (64k+9) et 9821 (64k+29) et son successeur est 3683 (64k+35), ce qui s'associe à DW-->V ou cas n°8.

    On peut alors écrire une Séquence de transformation modulaire (STM) propre à chaque STI, comme une séquence de chiffres entre 1 et 9, où chaque chiffre représente un cas de la table de transformation et correspond à une étape dans la suite impaire de transformations du nombre initial jusqu'à ce qu'il converge vers 1.

    Pour i = 151 par exemple on a STM : [854714]
    Si on prend i = 423, on a STM : [2568673854714]
    La fin de la STM reprend tous les chiffres de la STM de 151, ce qui veut dire que 423 passe par l'étape 151.
  • Coucou PMF
    D'un côté, je suis content de voir que tu es toujours vivant, mais d'un autre côté, je suis triste de voir que tu es toujours obsédé par cette conjecture, et de plus en plus englué dans tes délires, année après année (je pèse mes mots).
    Ce sera ma seule intervention.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (November 2023)
    LES REGLES DES SUITES DE TRANSFORMATIONS IMPAIRES (STI)
    1. Transformation D (Décroissance i*0.25 ) : 
       - $ i' = \frac{i-1}{4} $ si et seulement si le résultat est un nombre impair et non décimal.
    2. Transformation V (Croissance i*1.5) : 
       - $ i' = \frac{3i+1}{2} $ si et seulement si le résultat est un nombre impair.
    3. Transformation W (Décroissance Modérée i*0.75) : 
       - $ i' = \frac{3i+1}{4} $ si et seulement si le résultat est un nombre impair et non décimal.
    On applique une opération spécifique pour maintenir l'imparité du résultat :
    - Pour la transformation $W$, l'opération est validée si la partie entière du résultat de $ i \times \frac{3}{4} $ est paire et la partie décimale est 0,75. Dans ce cas, on ajuste le résultat pour qu'il soit impair en ajoutant 0,25.
     
    - Pour la transformation $D$, l'opération est validée si la partie entière du résultat de $ i \times \frac{1}{4} $ est impaire et la partie décimale est 0,25. Ici, on ajuste en soustrayant 0,25 pour maintenir l'impairité.
    - Pour la transformation $V$, l'opération est validée si la partie entière du résultat de $ i \times \frac{3}{2} $ est paire et la partie décimale est 0,5. On ajuste en ajoutant 0,5 pour obtenir un impair.
    Tout nombre impair $i$ peut être transformé en un autre nombre impair $i'$ à l'aide de l'une des trois transformations D, V ou W, selon son résidu modulo 64 :
    - Les valeurs [5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61] correspondent à la transformation de type $D$.
    - Les valeurs [3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63] correspondent à la transformation de type $V$.
    - Les valeurs [1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57] correspondent à la transformation de type $W$.
    Le graphe orienté joint comment les 32 nœuds correspondant aux résidus modulo 64 s'organisent en 96 liaisons possibles : 
    - $D$ : Les 8 résidus du mod 64 de $i$ [5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61] s'associent aux 32 résidus possibles de $i'$ (4 chacun)
    - $V$ :  Les 16 résidus du mod 64 de $i$ [3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63] s'associent aux 32 résidus possibles de $i'$ (2 chacun)
    - $W$ : Les 8 résidus du mod 64 de $i$ [1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57] s'associent aux 32 résidus possibles de $i'$ (4 chacun)


  • PMF
    PMF
    Modifié (November 2023)
    Toute suite de COllatz peut se convertir en STI
    Dans cet exemple d'une séquence de 29 lettres, on voit que la transformation $i= (p-1)/3$ de chaque étape paire $p$ de la suite de COllatz (si le résultat $i$ est bien un entier impair) correspond bien à une étape de la STI (step) selon une opération D, V, ou W.
    En partant de 1 et en utilisant de gauche à droite les codes de la séquence DDDWDDDVVWDVDDWWDDVDDVDDVDVDD avec les opérations :

    D : $ i' = 4i + 1 $
    V : $ i' = \frac{2i - 1}{3} $ (si $ i' $ est un entier impair)
    W : $ i' = \frac{4i - 1}{3} $ (si $ i' $ est un entier impair)

    on calcule i = 16878361397 et la suite de Collatz de i = 16878361397 correspond parfaitement à chacune des étapes de la STI.

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