Deux fonctions et une partition

Cidrolin
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour,
Les fonctions
On définit  $f$ de $\N^*$ vers $\N^*$ par $f(n)=\Big\lfloor \dfrac{4n+1-\sqrt{4n+5}}{2}\Big\rfloor$ et
$g$ de $\N^*$ vers $\N^*$ par $g(n)=2n+\lfloor \sqrt{n}\rfloor$.
La partition de $\N^*$
On pose $A=\{ f(1),f(2),f(3),f(4), \dots \}$ et $B=\{ n \in  \N^* \mid \exists k \in \N^*,\ g(k)=n \}$
Montrer que $A\cap B =\emptyset $ et $A\cup B=\N^*$
Cordialement

Réponses

  • Ben314159
    Modifié (October 2023)
    Salut,
    Si on écrit la liste des entiers naturels non nuls de la façon suivante : 

    (avec 4 entiers de plus à chaque ligne sauf de la première à la deuxième)
    on vérifie relativement facilement que le $n$-ième entier rouge est $f(n)$ et que le $n$-ième bleu est $g(n)$.
  • @ Cidrolin peux-tu expliquer comment as-tu fabriqué  $f(n),g(n)$ pour avoir une partition de $N^{*}$ merci
  • Cidrolin
    Modifié (October 2023)
    @Ben314159 Oui, on peut présenter ainsi
    @ etanche J'étudiais les propriétés  de la fonction $g$, et notamment l'équation $g(n)=m$.
    Amicalement
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