Concours l’Évariste entraînement 1

etanche

Bonjour
Déterminer le plus grand nombre entier possible qui est le produit d’entiers positifs dont la somme
vaut 2023. Même question avec un produit d’entiers relatifs ? Même question avec un produit de réels positifs ?
Merci.

C’est l’exercice 1 sujet 0 de https://file.notion.so/f/f/2e90d617-8fc5-4191-baa1-5fc447b2784c/d322aaf6-aacb-4bc4-8366-5127c96322b1/Sujet_zro.pdf?id=72343855-8803-4542-90c7-6cda86245c40&table=block&spaceId=2e90d617-8fc5-4191-baa1-5fc447b2784c&expirationTimestamp=1698393600000&signature=PhzPLIYyivxR9sz2SUzd9ePSCeQCHs8Tk1oeEANmBUs&downloadName=Sujet+zéro.pdf

Plus d’informations sur le concours l’Évariste
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335712/concours-maths-l-evariste-pour-lyceens/p1?new=1

Soc

* Tu peux remplacer avantageusement un facteur K par 2(K-2) si K>3. (en effet 2(K-2)-K>=0 pour K>3)

Une réponse optimale n'est donc composée que de 2 et de 3.
Tu peux aussi remplacer avantageusement trois 2 par deux 3. Il y a donc au plus deux 2.
2023 = 674*3+1 donc le bon candidat est $2^2\times 3^{673}$

* Avec des nombres négatifs le produit n'admet pas de maximum (tu peux toujours rajouter ces facteurs (-2)*2*(-2)*2 ).

* Avec des réels, à voir!

Soc

Pour les réels:

On a des facteurs tous inférieurs ou égaux à 4.
On maximise un facteur plus grand que 4 en le remplaçant par ses deux moitiés
On peut par exemple remplacer avantageusement un 3 et un 2 par deux 2,5.

Les facteurs doivent donc être tous égaux.

Soc

J'aurais un faible pour (2024/744)^744.

Soc

* Tout facteur inférieur à 1 est avantageusement additionné à un autre.

* Sans changer la somme on peut remplacer avantageusement un facteur K plus grand que 4 par K(K-2).

* On peut remplacer avantageusement 2 facteurs compris entre 1 et 2 par leur somme.

* Tous les facteurs sont donc compris entre 2 et 4.

* On peut remplacer avantageusement 2 facteurs dont la somme est supérieure à 4 par leur milieu.

* Tous les facteurs sont donc égaux.

* S=somme , N=nb de facteurs, F=valeur des facteurs, P=produit

* $ P=F^N=F^{\frac{S}{F}}=e^{\frac{S}{F}\times \ln F} $

* P atteint son maximum en $e$. Le F cherché est donc un des deux S/N qui approchent $e$ le plus.

* F = 2023/744 ou F = 2023/745.

J'ai dû me tromper quelque part car la fin me parait délicate sans calculatrice.

lourrran

Avec calculatrice, c'est 2023/744 qui l'emporte.
Sans calculatrice, le calcul de 2023/e donne 744.22, sensiblement plus proche de 744 que de 745 : sans calculatrice, on peut donc spéculer que c'est $(2023/744)^{744}$ qui  donnera la bonne valeur.