Sommes de Riemann sur ]0,1]

Clairon

Hello,

Voici un petit exo de spé.

Soit $f$ une fonction continue sur $] 0,1]$, monotone (il doit même falloir supposer $f$ positive).

On pose pour $n \geq 1$, $S_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1} f\left(\frac{k}{n}\right)$.

J'ai réussi à montrer que $\left(S_n\right)$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $] 0,1]$
et qu'en cas de convergence $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n=\int_0^1 f$.

Qui a un contre-exemple lorsque $f$ est non monotone ?

Merci pour vos idées !

JLapin

Sauf erreur, $f(x)=x\lfloor 1/x\rfloor$ sur $]0,1]$ constitue une sorte de contre-exemple. La somme de Riemann entre $1$ et $n$ converge (vers $\pi^2/12$), l'intégrale aussi (vers $5/8$) mais les deux valeurs ne sont pas identiques.

Héhéhé

Voir ce devoir.

Clairon

Oh merci.
Je vois que tout ceci est loin d'être évident....

AlainLyon

 $f(x)=\sin^2(1/x)$ ? (je n'ai pas essayé).

Boécien

Curieux ton exemple @JLapin pour moi c'est égal. Voir par exemple m=1 dans l'exemple 2.2.1 de cet article.

JLapin

J'aimerais bien avoir accès à ton article mais tu as envoyé un lien qui ne fonctionne pas

La valeur de l'intégrale m'a été donnée par Maple : manifestement, ce n'est pas la bonne... J'aurais dû être plus scrupuleux dans mes vérifications.

Boécien

@JLapin

C'est le chapitre 2 de ce livre. Sinon un calcul assez facile donne pour $\Re z<0$
$$\int_{0}^{1}t^{-z}\left\lfloor \frac{1}{t}\right\rfloor dt=\frac{\zeta(1-z)}{1-z}$$
en particulier

$$\int_{0}^{1}t\left\lfloor \frac{1}{t}\right\rfloor dt=\frac{\zeta(2)}{2}$$

JLapin

Oui, j'ai fais moi-même le calcul et effectivement, Maple donne un faux résultat...

Chaurien

J'ai fait le calcul. Au féminin, on dit elle est faite, non elle est faise.

Chaurien

Un exemple d'intégrale convergente d'une fonction positive sur $]0,1]$ avec somme de Riemann divergente.

• Plusieurs fois j'ai évoqué sur ce forum l'intégrale $\displaystyle J=\int_{1}^{+\infty }\frac{x^{\alpha }dx}{1+x^{\beta}\sin ^{2}\pi x}$, qui converge si $\alpha \geq 0$ et $\beta >2\alpha +2$. 

Je l'appelle intégrale de Hardy parce que c'est G. H. Hardy qui l'a étudiée dans des articles du Messenger of Mathematics, 1902.

C'est déjà un exemple d'intégrale convergente d'une fonction strictement positive, de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ sur $[1,+ \infty[$ qui ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ et qui est même non majorée si $\alpha >0$.

Elle sert aussi à d'autres contre-exemples, par exemple ici.

• Le changement de variable : $t=\frac{1}{x}$ dans l'intégrale $J$ conduit à :   $\displaystyle J=\int_{0}^{1}g(t)dt$, avec $g(t)=\frac{t^{\beta -\alpha -2}}{t^{\beta}+\sin ^{2}\frac{\pi }{t}}$, fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ et strictement positive sur $]0,1]$. C'est une intégrale convergente, pour qui l'on peut définir la somme de Riemann : $S_{n}=\frac{1}{n}\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}g(\frac{k}{n})$. La fonction $g$ étant positive, on a : $S_{n}\geq \frac{1}{n}g(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}\cdot \frac{(\frac{1}{n})^{\beta -\alpha -2}}{(\frac{1}{n})^{\beta }}=n^{\alpha +1}$, qui tend vers $+\infty $ quand $n\rightarrow +\infty $.
Bonne journée, avec un pâle soleil d'automne.

Fr. Ch.

27/10/2023

JLapin

Voici une fonction avec moins de paramètres.

Sur chaque segment $[1/n-1/2^n,1/n+1/2^n]$, on définit $f$ continue par morceaux comme un triangle dont la pointe vérifie $f(1/n)=n^2$.

Sauf erreur, $f$ est continue par morceaux sur $]0,3/2]$ et $\int_0^{3/2} f= 6$ mais $S_n(f)\geq 1/nf(1/n) = n$ donc $S_n(f)$ tend vers $+\infty$.

Héhéhé

Je précise que la solution donnée par Chaurien est celle étudiée dans le devoir donné dans mon lien plus haut.

Chaurien

Héhéhé, je n'avais pas ouvert ton lien. Je me suis intéressé à ce que j'appelle l'intégrale de Hardy $\displaystyle J=\int_{1}^{+\infty }\frac{x^{\alpha }dx}{1+x^{\beta}\sin ^{2}\pi x}$ depuis une quarantaine d'années, et petit à petit j'ai pris conscience du fait que cette intégrale peut servir à divers contre-exemples. 

Par exemple, il me semble qu'on a parlé il y a quelque temps d'une fonction de classe $\mathcal C^{\infty}$ sur $[0,+ \infty[$, strictement décroissante, de limite nulle en $+\infty$, et dont la dérivée n'est bornée sur aucun intervalle $[a,+ \infty[$, $a \ge 0$. Conséquence immédiate.

Autre exemple, en modifiant quelque peu l'intégrale en question, une variable aléatoire avec une densité strictement positive, de classe $\mathcal C^{\infty}$, non majorée, mais ayant des moments finis de tous ordres. j'avais surpris le regretté Daniel Saada en lui communiquant cet exemple.

 Pour celui qui nous occupe présentement, je me suis posé la question de l'existence d'une somme de Riemann divergente pour une intégrale convergente,  j'ai eu l'idée d'utiliser l'intégrale de Hardy, avec ce petit changement de variable. C'était vers 2004 et je l'ai dans mes archives depuis cette époque. 

Nous avons eu la même idée, c'est une remarquable coïncidence  : les grands esprits se rencontrent .

Chaurien

J'ai, retrouvé un fil vieux de dix ans qui abordait le même sujet et où un certain Raymond Cordier exprimait son intérêt pour la dite « intégrale de Hardy » et donnait cet exemple : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/857386#Comment_857386

Depuis juillet 2013, cet exemple était donc à la disposition de tout le monde.

troisqua

$f:x\mapsto\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}\left(\frac{1}{x}\right)}$ est continue par morceaux sur chaque segment inclus dans $I=\left]0;1\right]$ donc est continue par morceaux sur $I$. On a $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f\left(\frac{1}{n}\right)\geqslant\frac{1}{N}f\left(\frac{1}{N}\right)=N$ qui montre la divergence des sommes de Riemann malgré la convergence de $\displaystyle \int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+u^{4}1_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}\left(u\right)}du=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+u^{4}}du$.

Chaurien

J'ai trouvé un article de l'excellent Jean-Paul Truc, professeur de prépa et rédacteur en chef de Quadrature :  Riemann Sums for Generalized Integrals, The College Mathematics Journal, VOL. 50, No. 2, 2019.

 Entre autres, il cite l'exemple de la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac{t^{\beta -\alpha -2}}{t^{\beta}+\sin ^{2}\frac{\pi }{t}}$. Il ne fait pas semblant d'avoir trouvé lui-même cet exemple, il l'attribue à Raymond Cordier, donc dans le fil de ce forum que j'ai évoqué plus haut, et il reprend l'expression « intégrale de Hardy ».

En fait, on devrait plutôt mettre cette expression au pluriel et parler d' « intégrales de Hardy », puisqu'il s'agit d'une famille d'intégrales, comme on dit « intégrales de Wallis ». Au singulier, ceci semblerait se rattacher à « intégrale de Riemann », « de Lebesgue » etc., ce qui serait un contre-sens. Et de plus on peut bricoler des intégrales « de type Hardy », pourrait-on dire, en remplaçant $x^{\alpha}$ et $x^{\beta}$ par d'autres fonctions de $x$ dans l'intégrale 

$\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{x^{\alpha }dx}{1+x^{\beta}\sin ^{2}\pi x}$, afin d'obtenir d'autres contre-exemples.

troisqua

C'est plutôt le sinus que les puissances qu'il est intéressant de modifier de sorte à garder un caractère périodique mais sans se prendre le chou avec des intégrales qu'il est difficile de contrôler pour montrer la convergence de l'intégrale. C'est en ce sens que j'ai proposé mon contre-exemple. @Chaurien les intégrales dont tu parles sont un sujet à part entière qui mériterait peut-être un fil, mais là pour ce fil, on peut faire plus simple comme l'a montré @JLapin ou comme je l'ai montré pour voir que l'artillerie disproportionnée des intégrales que tu sors peut être grandement allégée et traitée en 5mn ou 10mn par un taupin.