Géométrie différentielle, gravité et lumière

biguine_equation

Bonjour,

depuis quelques mois, je m’intéresse aux concepts de base de la géométrie différentielle. 

À ce propos, je signale ces 24 lectures introductives sur la théorie de la relativité générale (2015) par le professeur Frédéric Schuller.
Je rejoins les commentaires enthousiastes qui accompagnent les vidéos. De l’avis de tous: ces lectures sont fantastiques ! Les quelques notions que j’ai acquises dans ce domaine, je leur dois. Tous les pdf d’internet ne valent pas un bon cours magistral.

$\bullet$ Une variété topologique $M$ de dimension $n$ est ce que l’intervenant nomme le « monde réel ». Un point $p$ de cette variété est comme un point du globe. On peut se rendre jusqu’à lui et le « toucher du doigt ».

$\bullet$ Tout point $p$ de $M$ appartient à un ouvert $U$ homéomorphe à un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^n$.
Une carte $\mathbf{x}=\big(x^1, x^2,…, x^n\big)$ est une application inversible $(\mathbf{x}^{-1}\: : \: \mathbf{x}(U) \longrightarrow U)$, continue dans les deux sens et qui envoie son voisinage $U$ vers un ouvert de $\mathbb{R}^n$.
Si $p \in U \subseteq M$, \begin{equation}
\mathbf{x}(p)=\big(x^1(p), \: x^2(p) \: ,\dots\: x^n(p)\big)
\end{equation} Les $x^i$ sont définies sur des ouverts $U_i$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.

$\bullet$ Chaque carte $\mathbf{x}$ est une représentation « subjective » d’une partie du monde réel. Il y a autant de représentations que de cartes et pour passer de l’une à l’autre, on utilise les fonctions de transition de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}^n$.

On a deux cartes $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ définies sur deux ouverts $U$ et $V$ de $M$ et un point $p \in U \cap V$. Pour aller de $\mathbf{x}(p)$ à $\mathbf{y}(p)$, il faut d’abord revenir (via $\mathbf{x}^{-1}$) vers le monde réel $U \cap V \subset M$ puis repartir vers la carte $\mathbf{y}$: $\big(\mathbf{y} \circ \mathbf{x}^{-1}\big)(p)$. Recourir aux fonctions de transition, c’est comme feuilleter les pages de l’atlas du monde. En géométrie différentielle, un atlas est précisément une collection de cartes !

Les vidéos 5 et 6 expliquent les concepts clés d’espaces tangents et d’applications différentiables si essentiels en physique. Une difficulté porte sur la définition très abstraite des opérateurs différentiels $\frac{\partial}{\partial x^i}$ comme base de l’espace tangent $T_pM$.
Vous verrez d’ailleurs qu’à la vidéo 5, l’intervenant s’embrouille dans ses explications ! Ça arrive même aux meilleurs…

Source: The WE-Heraeus international winter school on gravity and light-Frederic P. Schuller.

raoul.S

Je mets le lien.

Barjovrille

Bonjour, merci de partager ton enthousiasme, cette matière m'a fait péter un câble au premier contact .
ça s'est mieux passé après.