Petit dénombrement en dimension 3

Ramufasa

Bonjour à tous,

je sollicite votre aide pour un petit calcul de dénombrement en dimension 3. Je dispose d’une boule de rayon $r$ et je souhaite compter le nombre de droites qui traversent cette boule (j’ai juste besoin de connaître la dépendance en $r$ de ce nombre, qui semble être $r^4$).

Amicalement,
Ram

Ramufasa

Détail sur la conjecture : une droite traversant ma boule est déterminée par un point d’entrée et un point de sortie, donc par deux points de la sphère entourant la boule, sphère dont l’aire est en $r^2$ d’où $r^4$. Je manque juste de confiance en moi pour être certain du résultat  

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Ça n'a rien à voir avec un dénombrement !

Par contre l'ensemble des droites qui rencontrent une boule de l'espace de dimension trois est un sous-ensemble (semi-algébrique) de dimension 4 (maximale) de la grassmannienne des droites de l'espace.

Soc

Euh... Une infinité! Je crois qu'il faut que tu redéfinisses plus clairement ce dont tu parles

etanche

Peut-être qu’il veut le nombre de droites passant par $A,B$ avec des coordonnées entières à l’intérieur de la boule fermée de centre O et de rayon $r>0$ ?

Ramufasa

Merci pour vos retours !

Déformation professionnelle ! Ma question provient de considération en traitements des images donc ma « boule » est en fait discretisée en voxels (pixels 3D) cubiques. Le « rayon » dont je parle est le rayon mesuré en côté de voxel (c’est donc un nombre entier).

Toutes les quantités dont je parle sont bien des nombres entiers : je cherche un ordre de grandeur du nombre fini de « droites » (qui sont donc plutôt des parallélépipèdes) qui passent par ma boule discretisée.

Mille excuses pour le manque de clarté.

Soc

Du coup il faut avoir un moyen de connaitre le nombre de voxels nécessaires pour matérialiser ta sphère de rayon r. Ensuite il suffit d'en prendre 2 parmi tous.

Ramufasa

Merci !