Un jeu qui n'a de solution que pour un nombre impair de joueurs

Comme montré dans la pièce jointe on ne peut pas jouer à ce jeu si on est un nombre impair.
Mais sauriez-vous trouver toutes les solutions pour un nombre pair de joueurs?
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré

Réponses

  • Quelle drôle d'idée que de mettre des couleurs pour les coder par un nombre!
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • On supposera que le gâteau circulaire est découpé en secteurs.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    Alain, tu ne fais pas l'effort de recopier l'énoncé, je ne fais pas l'effort de chercher. Ouvrir des pdf de source pas fiable me file des boutons.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • john_john
    Modifié (October 2023)
    Bonjour,
    je rédige en clair l'énigme, et ce pour deux raisons,
    1) L'énoncé est bizarrement formulé, cf. la remarque de Soc.
    2) Il vaut mieux ne pas lire la solution, qui tend à faire croire qu'il n'en existe pas une autre, plus simple.

    Donc, $n$ convives, numérotés de $0$ à $n-1$, occupent, autour d'une table ronde, les sommets d'un $n$-agone régulier ; devant eux, sur une table tournante et concentrique, $n$ mets succulents, numérotés de même, mais dans un autre ordre. Un commensal pourra prendre le mets qui porte qui porte son numéro, au moment où il sera pile devant lui.
    À l'étape $0$, un unique convive est de ce fait autorisé à se servir ; la table fait alors un $n$--ième de tour dans le sens des aiguilles d'une montre et, là encore, un unique convive se sert, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous aient été servis.

    Explication de ce prodige ? Est-il possible quel que soit $n$ ?
  • john_john
    Modifié (October 2023)
    Il me semble d'ailleurs que, dans le corrigé, l'auteur ne fait qu'exclure le cas où $n$ est pair, sans établir que l'autre cas est toujours possible ; a fortiori, il ne recense pas toutes les solutions lorsque $n$ est impair. Je ne me suis pas encore posé cette dernière question.
  • depasse
    Modifié (October 2023)
    Bonjour,
    Si $n$ est impair et en face de tout $x \ \ [n-1]$ le gâteau est $(n-1)x\ \ [n-1]$, au $k$-ième tour de roue seul $k(n-1)/2\ \ [n-1]$ se sert. 
    Edit: coquille: il faut remplacer les trois $[n-1] $ par $[n]$
  • john_john
    Modifié (October 2023)
    Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta notation... pour ma part, j'avais dressé la table comme il suit : en face du numéro $k\in\{0,1,\dots,n-1\}$, je place la part numérotée $\omega k$, où $\omega$ est l'inverse de $2$ dans $\Z/n\Z$ (c'est-à-dire $p+1$ si $n=2p+1$).  À la $\ell$--ième étape, le convive $\ell$ se sert. Tous ces calculs se font dans $\Z/nZ$
  • Merci à @john_john d'avoir reformulé la question à laquelle il répond!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • De rien, Alain !
  • Bonjour,
    oups coquille: Il faut lire $[n]$ et non pas $[n-1]$!
    Je vois $n$ solutions: on choisit l'un des $n$ gâteaux -numéroté $a$- que l'on place en face du convive numéroté $0$, puis, pour tout $k \in \{ 1,2,...n-1 \} $ on place en face du convive numéroté $k$ le gâteau numéroté $a-k\ \  [n]$. Que la roue tourne dans un sens ou dans l'autre chacun mangera son gâteau. 
  • Il peut y en avoir davantage : si par exemple $n$ est premier impair, on choisit $m$ entre $1$ et $n-2$ et $m'$ quelconque ; on peut alors choisir $\sigma(k)=mk+m'$, ce qui donne $n(n-2)$ choix.

    Cela dit, la recherche de toutes les solutions me semble être un problème essentiellement combinatoire.
  • OK, @john_john. Je me doutais qu'il y en avait d'autres, mais la flemme...
    Cordialement
    Paul
  • john_john
    Modifié (November 2023)
    J'ai écrit un programme qui recense les bonnes permutations  pour $n$ donné ; comme c'est un multiple de $n$ ; j'ai soumis $nombre(n)/n$ à l'OEIS pour n=1,3,5,7,9 et voici la réponse (pas de formule exacte, semble-t-il) : 

    https://oeis.org/search?q=1,1,3,19,225&language=french&go=Chercher
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