Un pgcd

Joaopa

$\newcommand{\PGCD}{\mathrm{pgcd}}$En faisant tourner mon esclave numérique, je constate que $\PGCD(n^3+n^2-6n+2;\ 2n^2+5n-3)=\PGCD(n+7,10)$.

J'ai essayé de le prouver. En écrivant les divisions euclidiennes, on se retrouve avec des demi-entiers. Pas cool.

En écrivant des relations de Bezout dans $\mathbb Z$, j'arrive à montrer que le $\PGCD$ divise $10$ et $n+7$. Mais je suis bloqué là. Si quelqu'un sait conclure.

gai requin

Divise les deux polynômes de gauche par $n+7$ pour prouver que $\PGCD(n+7;10)$ divise $\PGCD(n^3+n^2-6n+2;\ 2n^2+5n-3)$.

gai requin

Ton égalité est fausse !
On peut montrer que $\PGCD(n^3+n^2-6n+2;\ 2n^2+5n-3)$ divise $820$.
D'ailleurs, il vaut $820$ pour $n=143$.

Edit : Erreur du logiciel

Chaurien

Soit $A(n)=n^3+n^2-6n+2$ et $B(n)=2n^2+5n-3$. 

Avec l'algorithme d'Euclide sur les polynômes, je trouve, sans esclave :

$-(6n+13)A(n)+(3n^2+2n-12)B(n)=10$.

Wolfy est d'accord : https://www.wolframalpha.com/input?i=-(6x+13)(x^3+x^2-6x+2)+(3x^2+2x-12)(2x^2+5x-3)

Joaopa, il ne faut pas avoir peur des rationnels non entiers. On travaille dans $\mathbb Q[X]$ et ensuite on multiplie par l'entier idoine pour se ramener dans $\mathbb Z$.

Joaopa

@Chaurien J'étais arrivé à ce genre d'égalités (la mienne était plus compliquée !). Mais cela montre seulement que le PGCD divise 10

LOU16

Bonjour,

Soient $A=n^3+n^2-6n+2, \quad B=2n^2+5n-3 =(n+3)(2n-1).\:\:$ Alors:

$A\wedge(n+3) =(n+3)\wedge 2,\quad A\wedge (2n-1) = (2n-1) \wedge 5,\quad A\wedge (n+3) \wedge (2n-1) =1.\quad $ On déduit:

$$ A\wedge B =\Big(n+3)\wedge 2\Big) \times \Big((2n-1) \wedge 5 \Big).$$

Dès lors, en examinant les différentes valeurs de  $n \mod 10, \:\:$on obtient bien: $\quad\boxed{A\wedge B =(n+7) \wedge 10.}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n\equiv \mod 10& (n+3) \wedge 2=& (2n-1) \wedge 5 =&(n+7) \wedge 10=\\ \hline  0,2,4,6 &1&1&1\\ \hline 8 &1 &5 &5 \\ \hline 1,5,7,9 &2&1&2 \\ \hline 3&2&5& 10\\ \hline \end{array}$$

Chaurien

Bravo LOU16. J'avais commencé dans la même voie en regardant les restes mod. $10$, mais comme d'habitude tu as été plus rapide.

Joaopa

Merci à tous les intervenants et bravo à LOU16!