Tentative de preuve de l'inconsistance de ZFC

Congru
Modifié (October 2023) dans Shtam

@AlainLyon essaie de prouver la non consistance de ZFC.

Si @AlainLyon veut supprimer ce fil alors je prie les modérateurs d'accepter sa demande.
Bien cordialement.
«13

Réponses

  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Poirot Je sais montrer que $Vect(A)$ est l'intersection de tous  les sous-espaces vectoriels de $E$ seulement par le théorème de l'existence d'une base à tout espace vectoriel lequel nécessite l'axiome du choix, mais comme ZFC n'est pas consistant, je me demande si ce théorème est décidable dans ZF+ACD (axiome du choix dépendant ). Quelqu'un a-t-il une démonstration n'utilisant pas le théorème de la base ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @AlainLyon ZFC nest pas consistant ?

  • Aussi @AlainLyon, c'est quoi ta définition de vect ?
  • @Congru Voir la pièce jointe
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @AlainLyon, pourquoi dois-je voir la pièce jointe ?
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Congru a dit :
    Aussi @AlainLyon, c'est quoi ta définition de vect ?
    Vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de $A$
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Congru a dit :
    @AlainLyon, pourquoi dois-je voir la pièce jointe ?

    Parce je pense que ce pdf donne une preuve de non-consistance de ZFC
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    Donc ce cas ce que tu cherches est un exemple classique de construction par le bas vs construction par le haut. 
    Vérifie que l'intersection d'un ensemble non vide de sous-structures est une sous-structure. Vérifie que vect(A) est une sous-structure contenant A ...
  • Poirot
    Modifié (October 2023)
    Avec la définition d'AlainLyon de l'ensemble des combinaisons linéaires (finies) d'éléments de $A$, alors l'inclusion réciproque est parfaitement triviale : $\mathrm{Vect}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$, donc il existe $i_0 \in I$ tel que $\mathrm{Vect}(A) = V_{i_0}$ et donc $\bigcap_{i \in I} V_i \subset V_{i_0}$. Je ne vois absolument pas pourquoi on aurait besoin de passer par une base.
    Quant à ses élucubrations sur la non consistance de $\mathsf{ZFC}$, mieux vaut l'ignorer, il nous fait le coup à chaque fois.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Pour en revenir au théorème énoncé par @Poirot quelqu'un a-t-il une preuve qui ne soit pas fondée sur l'axiome du choix ou une preuve de son indécidabilité dans ZF+AC dépendant ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @AlainLyon, la preuve de @Poirot n'est pas fondée sur l'axiome du choix.
  • Ce que tu demandes est un exercice très classique.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Congru a dit :
    Dans ce cas ce que tu cherches est un exemple classique de construction par le bas vs construction par le haut. 
    Vérifie que l'intersection d'un ensemble non vide de sous-structures est une sous-structure. Vérifie que vect(A) est une sous-structure contenant A ...
    Je connais les groupes, les anneaux, les corps, les espaces vectoriels mais je ne connais pas d'objet des mathématiques appelés structures.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    Ici, par sous-structure, on entend sous-espace vectoriel.
    L'exercice qui te pose problème est un exercice trivial de logique.
    Comment peux-tu prouver la non consistance de ZFC et en même temps avoir un très faible niveau en logique. Tu bats tous les logiciens, mais en même temps tu ne peux pas faire un truc trivial ?
  • Héhéhé
    Modifié (October 2023)
    Soit $A$ une partie de $E$. Notons:
    • $X$ l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de $E$ qui contiennent $A$;
    • $Y$ l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $A$.
    Remarquons déjà que $X$ est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $A$. En effet c'est un sous-espace vectoriel car intersection de sous-espaces vectoriels et il est le plus petit des sous-espace vectoriels car une intersection est toujours incluse dans tous les ensembles qu'elle intersecte.

    Remarquons ensuite que $Y$ est bien un sous-espace vectoriel : il contient toujours $0_E$ (soit on écrit $0_E = 0 \times a$ avec $a \in A$ si $A$ n'est pas vide, sinon on peut écrire $0_E$ comme une somme vide) et il est stable par combinaisons linéaires (il suffit de l'écrire). De plus il contient $A$ (si $A$ est vide il n'y a rien à démontrer, sinon $a = 1 \times a$ est bien combinaison linéaire de vecteurs de $A$ pour tout $a \in A$). 

    Enfin, remarquons que $Y$ est aussi le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $A$. En effet, si $Z$ est un sous-espace vectoriel qui contient $A$, puisque $Z$ est stable par combinaisons linéaires, il contient $Y$ donc $Y \subset Z$.

    Cela montre que $X=Y$.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Héhéhé a dit :
    Enfin, remarquons que $Y$ est aussi le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $A$. En effet, si $Z$ est un sous-espace vectoriel qui contient $A$, puisque $Z$ est stable par combinaisons linéaires, il contient $Y$ donc $Y \subset Z$.
    Cela montre que $X=Y$.
    @Héhéhé Comment démontres tu que c'est le plus petit ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Héhéhé
    Modifié (October 2023)
    Si :
    • pour tout sous-espace vectoriel $Z$ qui contient $A$, on a $Z \supset Y$ ;
    • et $Y$ est un sous-espace vectoriel qui contient $A$ ;
    cela veut exactement dire que $Y$ est le plus petit sous-espace vectoriel qui contient $A$.
  • @AlainLyon cesse de faire le troll.
  • Poirot
    Modifié (October 2023)
    @AlainLyon Il suffit d'ouvrir les yeux pour voir l'erreur dans ton document prouvant soi-disant la non consistance de $\mathsf{ZFC}$. J'ai du mal à croire qu'en visiblement 13 ans, personne ne t'ait montré le problème.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Héhéhé Si on rejette l'axiome du choix général comment montrer que l'intersection d'une famille quelquonque d'espaces vectoriels est un espace vectoriel ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Poirot Je suis tout ouïe (ou plutôt tout œil) si tu me démontres où est l'erreur dans mon pdf alors je te donnerai raison !
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Soit $(F_i)_{i \in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels et soit $F$ l'intersection de tous les $F_i$ pour $i \in I$.
    • Pour tout $i \in I$, $0_E \in F_i$ (car $F_i$ est un sous-espace vectoriel) donc $0_E \in F$ ;
    • $F$ est stable par somme: soient $x \in F$ et $y \in F$. Soit $i \in I$. On a $x \in F_i$ et $y \in F_i$ donc $x+y \in F_i$ (car $F_i$ est un sous-espace vectoriel). On a donc montré que $x+y$ est dans tous les $F_i$ pour $i \in I$ donc $x+y \in F$.
    • $F$ est stable par produit avec un scalaire : soient $x \in F$ et $\lambda \in \mathbb R$. Soit $i \in I$. On a $x \in F_i$ donc $\lambda\,x \in F_i$ (car $F_i$ est un sous-espace vectoriel). On a donc montré que $\lambda\,x$ est dans tous les $F_i$ pour $i \in I$ donc $\lambda\,x\in F$.
  • @AlainLyon Allez, tu peux trouver tout seul, c'est Page 13 du fichier pdf.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Poirot Je ne vois pas d'erreur page 13! Quelqu'un la voit-elle ou la voit-il?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • C'est bien dommage, j'attends de voir si quelqu'un d'autre voit l'erreur évidente. Je précise qu'il s'agit de la page 13 du fichier pdf, mais il est écrit 12 en bas de la page en question.
  • Pas d'erreur page 12 non plus mais peut-être que quelqu'un en voit une à une autre page
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • En passant, il y a une erreur en haut de la page en question, mais le fait que $G_{\beta}$ ne soit pas monogène est quand même vrai par un argument de cardinalité. Ce n'est pas de cette erreur dont je parle, il y a bien plus grave ailleurs.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Poirot Si c'est dans la phrase choisissons deux réels $\mathbb{Q}$-libres il n'y a pas là utilisation de l'axiome du choix général puisque $\mathbb{N}$ est l'ensemble des ordinaux finis se déduit de ZF, l'axiome de l'infini tient un grand rôle dans cette preuve.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Je croyais que tu cherchais à montrer que l'axiome du choix était incompatible avec $\mathsf{ZF}$ ? Pourquoi t'en priver alors ? Dans tous les cas, ce n'est pas l'erreur dont je parle.
  • @Poirot Si ZFC est inconsistant alors $1\neq 0$ et $1=0$ sont simultanément démontrables avec l'axiome du choix : cela s'appelle le paradoxe de Russel!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    la demi_somme $(a+b)/2$ de deux éléments $a$ et $b$ du noyau de $\Phi$ n'est pas dans le noyaux de $\Phi$ ?
    Et pourtant c'est une $\mathbb Q$-combinaison linéaire de deux élément du noyaux de $\Phi$.
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    Ta définition de $\Phi$ est très déconcertante, en gros, il faut faire le psy pour voir ce que tu essaies de dire.
    A un moment tu parles d'un segment qui appartiendrait à $G$, je suppose que tu voulais dire "inclus".
    Je n'ai pas lu le pdf entièrement, mais le peu que j'ai lu est déjà plein de fautes.
  • Effectivement le document est criblé de fautes, qui ont une gravité mineure, mais il y a une vraie faute de logique en bas de la page 13.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Congru Je vais faire court : a partir de $\emptyset$ on peut définir les ordinaux de Von-Neuman et j'appelle $\mathbb{N}$ l'ensemble de ces ordinaux, c'est un ensemble par l'axiome de l'infini,mais peut être préfère-tu voir $\omega_0$, je structure $\omega_0$ et je l'appelle $\mathbb{N}$(il vérifie les axiomes de Peano et une addition et un ordre sont définis). $\mathbb{R}$ se construit sans axiome du choix général  comme cela : par les structures de l'algèbre je définis l'anneau ordonné $\mathbb{Q},+,\times,\leq$ puis le corps ordonné $\mathbb{R},+,\times,\leq)$ qui vérifie la propriété de la borne supérieure par la construction classique par suite de Cauchy ....donc je peux parler d'intervalles....
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @Poirot, y a trop d'erreurs dans le pdf de @AlainLyon, ça me déconcentre, pendant que je cherches celle dont tu parles, j'en trouve plein d'autres: $G_\beta \cap \mathbb Q =\emptyset $: is $0$ a joke to you @AlainLyon ?
  • Tu as mis le point sur l'erreur en question : L'alternative à $G_{\beta} \subset \mathbb Q$ serait $G_{\beta} \cap \mathbb Q = \emptyset$ ? C'est délirant, ne serait-ce que parce qu'effectivement $0$ est évidemment dans cette intersection, mais surtout parce que la négation de $A \subset B$ n'est pas $A \cap B = \emptyset$...
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    @AlainLyon, tu connais les entiers de Von Neuman $\implies$ l'intervalle [a;b] est un élément de $G_\beta$ ?
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Poirot $G_\beta,\mathbb{Q}$, sont des groupes additifs il contiennent $0$!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Cette discussion a été créée à partir de réponses séparées de : Sous-espace vectoriel engendré.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    Poirot a dit :
    Tu as mis le point sur l'erreur en question : L'alternative à $G_{\beta} \subset \mathbb Q$ serait $G_{\beta} \cap \mathbb Q = \emptyset$ ? C'est délirant, ne serait-ce que parce qu'effectivement $0$ est évidemment dans cette intersection, mais surtout parce que la négation de $A \subset B$ n'est pas $A \cap B = \emptyset$...
    L'alternative à $G_\beta\subset\mathbb{Q}$ est $G_\beta\cap\mathbb Q=\lbrace 0\rbrace$, ce sont des groupes, mais peut-être que cela nécessite d'expliquer comment construire $\mathbb{Z}$ : c'est dans le pdf joint
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    @AlainLyon pour ta gouverne, ni la classe des ordinaux ni les constructions de l'ensemble des entiers relatifs ne sont des mystères pour @Poirot ou pour moi. On te montre tes erreurs et tu ne sembles toujours pas comprendre que ta démo n'est pas bonne.
  • Congru
    Modifié (October 2023)
    Aussi, pour te filer un coup de main concernant ton erreur sur le symbole $\subseteq$: 
    $A\subseteq B$ := $\forall x(x\in A\implies x\in B )$ ce qui est équivalent à $\forall x\lnot(x\in A \wedge (\lnot x\in B ))$
    Donc la négation de $A\subseteq B$ est équivalent à $\exists x(x\in A \wedge (\lnot x\in B ))$.
  • Poirot
    Modifié (October 2023)
    @AlainLyon Je ne sais pas ce que tu cherches à faire en parlant constamment des constructions de $\mathbb Z, \mathbb Q$ ou $\mathbb R$ à partir des axiomes de $\mathsf{ZF}$, je suis au courant de ces choses-là et je ne vois pas le rapport avec ton alternative qui est outrageusement fausse. Un sous-groupe non contenu dans un autre devrait le rencontrer uniquement en $0$ ?
    Et parlons franchement deux minutes, si une preuve aussi simple de la non consistance de $\mathsf{ZFC}$ existait, tu ne penses pas que des gens beaucoup plus doués que nous seraient tombés dessus il y a à peu près un siècle ?
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Poirot
    L'alternative n'est pas fausse, j'ai écrit l'alternative à $G_\beta\subset\mathbb{Q}$ est $G_\beta\cap\mathbb{Q}=\lbrace 0\rbrace$ et $\ln_l\circ \overline{\Phi_{\beta,l}}$ envoie $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{Q}$.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Congru Les mathématiciennes et mathématiciens français.e.s écrivent, quand ils ou elles ne font pas de faute d'orthographe le mot inconsistance!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @AlainLyon je préfère faire des fautes d'orthographe que de faire des fautes de logique et d'écrire un pdf truffé de fautes mathématiques et prétendre que ce pdf prouve que ZFC est est incohérente.
  • bonjour,

    AlainLyon, "français.e.s" n'est pas plus correct en français  :).

    Cordialement,
    Rescassol
     
  • AlainLyon a dit :
    @Poirot
    L'alternative n'est pas fausse, j'ai écrit l'alternative à $G_\beta\subset\mathbb{Q}$ est $G_\beta\cap\mathbb{Q}=\lbrace 0\rbrace$ et $\ln_l\circ \overline{\Phi_{\beta,l}}$ envoie $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{Q}$. 
    Et bien, donne-nous la démonstration précise de ce fait.
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