Intégrale stochastique

fredaulycee2

Bonjour à tous,
je dispose aujourd'hui d'un mouvement brownien $(B_t)$, $\mathcal{F}_t$ la filtration associée, à partir duquel je définis deux processus $Y_t=\int_0^t e^sdB_s$ et $Z_t=:\int_0^t Y_sdB_s$. J'aimerais calculer l'espérance et la variance de $Y_t$ et $Z_t$.

Pour l'espérance de $Y_t$, la fonction que l'on intègre étant déterministe, on a $E(Y_t)=0$ et pour la variance de $Y_t$, utilisant la relation d'isométrie, j'obtiens :

$v(Y_t)=E(\int_0^t e^{2u}du)=\dfrac{e^{2t}-1}{2}$.

Jusque ici tout va bien.

Pour la nullité de l'espérance de $Z_t$, j'ai envie de dire qu'elle provient du fait que $Y_t-Y_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ pour $s<t$ et que $E(Y_t-Y_s)=0$. J'ai par contre du mal à citer la propriété que j'utilise.

Enfin pour la variance de $Z_t$, je ferais comme cela :
\begin{align*}
E(Z_t^2) &= E( (\int_0^t Y_xdB_s)^2) \\
&= E( \int_0^t Y_s^2 ds) \\
&= \int_0^t E(Y_s^2)ds \\
&= \frac{e^{2t}-2t-1}{4}
\end{align*}

J'utilise successivement le théorème d'isométrie, le fait que $E$ et $\int$ permutent lorsque on intègre par rapport à $t$.
Cela vous semble-t-il correct ?
Bonne journée
F.

PS. Pour une raison qui m'échappe, le code LaTeX de mon calcul ne s'affiche pas correctement et la capture d'écran de ce calcul, compilé sur mon pose, refuse de se téléverser...

[Dans une expression mathématique, si l'on veut aller à la ligne, IL FAUT IMPÉRATIVEMENT utiliser simultanément "Maj + Retour". 
"Retour" seul fait planter la compilation $\LaTeX$. AD]

Fulgrim

Bonjour,

Pour l'espérance de $Z$ : oui, ton autre post du 23 octobre permet de répondre.

Pour la variance de $Z$ : c'est correct, si on peut intervertir $\mathbb{E}$ et $\int$ c'est Fubini-Tonelli.

PS : la discussion aurait été plus pertinente et aurait sans doute eu plus de réponses dans le forum "Probabilités et théorie de la mesure".

fredaulycee2

Merci Fulgrim !