ppcm de deux, trois,... rationnels

gebrane

Bonsoir
En discutant avec une collègue qui fait de  la physique, elle  a parlé du PPCM de deux nombres rationnels (voire 3 nombres rationnels). Je me suis senti un peu gêné car je ne connais pas cette notion (j'ai mis fin à la discussion en invoquant un mal de tête). Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer cette histoire de PPCM de deux ou trois nombres rationnels, y compris sa définition, ses propriétés, et comment le calculer ?

lourrran

Un peu de courage, voyons. Retourne la voir et dis lui qu'elle confond, il y a surement un malentendu. Et Dieu sait ce qu'il peut se passer sur un malentendu.

Soc

J'imagine que qu'on appelle "na" un multiple de a avec n entier, et donc qu'on cherche le plus petit commun. Cela devrait donner un truc du genre

ppcm (p/q,p'/q')=ppcm(pp')/pgcd(qq')

gebrane

C'est quelqu'un qui ne dit pas n'importe quoi. Je crois que l'approche de Soc est le bon

eoghan

Je pense comme les autres intervenants, il s'agit sans doute d'un malentendu. Toutefois, j'ai lu des auteurs qui étendaient la relation de divisibilité (et donc la notion de pgcd/ppcm) au corps des fractions d'un anneau intègre. Par exemple Escofier dans "Toute l'algèbre pour la licence", il donne un exemple de pgcd et ppcm dans $\mathbb{Q}$. Je mets le passage en pièce jointe (dernier paragraphe de la page).

gebrane

$\newcommand{\ppcm}{\mathrm{ppcm}}\newcommand{\pgcd}{\mathrm{pgcd}}$ Il parait que certains ont eu le même choc que moi sur la notion de ppcm dans $\Q$ ou dans $r\Q$.
Voici le résumé de mes investigations sur le ppcm dans $\Q$ et dans $r\Q$ avec $r$ un irrationnel.

Si a,b dans $r\Q$, on pose par définition $\ppcm_{r\Q}(a,b)=r\ppcm_{\Q}(\frac a r,\frac br)$ Noter que a/r et b/r sont des rationnels.

Si a,b dans $\Q$, on pose $\ppcm(a,b)$ le plus petit des multiples commun de $a$ et $b $ (les multiples du rationnel $a$ sont les $na$ où $n$ [est] un entier).

Propriété $\ppcm_{\Q}(a,b)=\dfrac{\ppcm_{\N} numérateurs}{\pgcd_{\N} dénominateurs}$.

De même  pour 3 rationnels $\ppcm_{\Q}(a,b,c)=\dfrac{\ppcm_{\N} numérateurs}{\pgcd_{\N} dénominateurs}$. 

Exemple $\ppcm_{\Q}\Big(\dfrac56,\dfrac34, \dfrac32\Big)=\dfrac{\ppcm_{\N} numérateurs}{\pgcd_{\N}dénominateurs}=\dfrac{\ppcm_{\N} (5,3,3)}{\pgcd_{\N} (6,4,2)}=\dfrac {15}2$.

Une application de ce $\ppcm$ est la recherche de la période fondamentale de la somme de signaux sinusoïdaux voir exemple ici 

Congru

Bonjour,
Les notions de ppcm et de pgcd dépendent totalement de la notion de diviseur. (La notion de diviseur peut se généraliser sur les magmas). Donc quand in parle de pgcd et ppcm dans une structure donnée, il faut se demander la notion de diviseur utilisée.

gebrane

Si un arithméticien peut développer cette notion de ppmc. je le remercie d'avance 

nicolas.patrois

À vue de nez, tu mets les fractions au même dénominateur et tu cherches le PPCM des numérateurs dans $\mathbb{N}$.

gebrane

Je dois démontrer un fait souvent utilisé par les physiciens : si $f$, $g$, et $h$ sont trois fonctions sinusoïdales de périodes fondamentales $T_1$, $T_2$, et $T_3$, alors la période fondamentale de la somme $f + g + h$ est le
$\ppcm(T_1, T_2,  T_3)$ dans $r\Q$  (souvent $r=\pi$)  exemple $$\cos(3x)+\cos(5x)+\cos(\tfrac 25 x)$$
Le message de noix de toto que je salue, montre que cette notion n'est pas standard pour les arithméticiens. 

GaBuZoMeu

Bonjour,

Je pense que c'est tout de même standard pour le corps de fractions $F$ d'un anneau factoriel $A$. Si $p$ est un irréductible de $A$, la valuation $p$-adique sur $A$ s'étend à $F$ en $v_p : F^*\to\Z$. Le ppcm $m$ d'éléments $f_1,\ldots,f_n$ de $F$ est défini (à un facteur inversible de $A$ près) par $v_p(m)=\max(v_p(f_1),\ldots,v_p(f_n))$.

Bien sûr ça dépend de $A$ et pas uniquement de $F$. Le ppcm dans $\Q$ comme corps de fractions de $\Z$ n'est pas le même que dans $\Q$ comme corps de fractions de l'anneau des décimaux.

gai requin

@gebrane : Je traite ton exemple.

Soit $T$ une période de cette somme.
Alors, pour tout $x$, $(\cos(3x+3T)-\cos(3x))+(\cos(5x+5T)-\cos(5x))+(\cos(2x/5+2T/5)-\cos(2x/5))=0$.
Chacune des trois parenthèses est un vecteur propre de l'opérateur de dérivation seconde.
D'après le lemme des noyaux, $\cos(3x),\cos(5x),\cos(2x/5)$ sont $T$-périodiques.
Donc la période fondamentale de la somme est $\mathrm{ppcm}(2\pi/3,2\pi/5,5\pi)=10\pi$.

gebrane

Je viens de comprendre tardivement ce que voulait dire @noix de totos,
il m' a expliqué en fait comment démontrer la propriété
$$\ppcm\Big(\frac pq, \frac nm\Big)=\frac{\ppcm(p,n)}{\pgcd (q,m)}$$  ( J'explique à la demande  )

Merci Gabu pour ton développement, à méditer.

gebrane

Bonjour, cher ami @gai_requin
Je viens de remarquer ton message, et justement, je cherchais un argument pour démontrer pourquoi, si $T$ est une période d'une somme finie de fonctions sinusoïdales, alors $T$ est également une période de chacune des sinusoïdes qui composent la somme. Cette propriété est spéciale pour les sinusoïdales. On a un contre avec  $f(x)=|\sin(x)|+[\cos(x)|$ car $\frac{\pi}2$ est une période de $f$ qui n'est pas ni période de $|\sin(x)|$ ni de  $|\cos(x)|$.

Tu m'as sauvé avec ce raisonnement puissant 

Chaurien

Moi c'est le PGCD dans $\mathbb Q$ j'ai découvert avec surprise il y a bien longtemps. J'étais professeur dans un collège technique, qui préparait aux CAP de tourneur, chaudronnier, charpentier, etc. Dans le manuel je trouve le problème suivant : on a une pièce rectangulaire dont on donne la longueur et la largeur en mètres, qui sont des nombres décimaux à virgule (j'ai oublié les données précises et je ne sais plus où est cet énoncé, mettez les nombres que vous voulez). On veut la paver avec des dalles carrées toutes identiques, sans les casser. Quel est le côté maximum de la dalle ? Ce problème a évidemment une solution unique, qui peut être considérée comme le PGCD de deux nombres rationnels non entiers.

Pour ce petit problème, il suffit bien sûr de changer l'unité de mesure des dimensions de la pièce pour en faire des entiers, et l'on se retrouve avec le brave PGCD habituel, quitte à la fin à revenir au mètre.

Mais ça m'a fait réfléchir et je me suis aperçu qu'on peut définir une divisibilité dans $\mathbb Q$ :  pour $x \in \mathbb Q$ et $y \in \mathbb Q$, on dira que $x$ est diviseur de $y$ s'il existe $k \in \mathbb Z$ tel que $y=kx$. la définition du PGCD et du PPCM en découle. 

Je n'ai jamais vu développer cette question dans la littérature mathématique, elle n'est peut-être pas très importante, et je ne m'en suis plus occupé. Je vois qu'on retrouve cette définition dans le  livre d'Escofier et David dont eoghan nous a communiqué un extrait, et que je ne connaissais pas.

Bonne fête de Tous les Saints.
Fr. Ch.
01/11/2023

gai requin

Oui, toute relation de préordre sur un anneau commutatif est une relation de divisibilité dont découle un pgcd plus ou moins utilisable. On doit trouver ça chez Bourbaki dans le chapitre sur les Diviseurs que certains auraient trouvé obscur 🥸

gebrane

Bonjour
Je peux fournir ici une preuve  (si quelqu'un de non matteux s'interesse à  la question) que j'ai donné  à mes collègues sur la mystérieuse  formule : ppcm de deux rationnels positifs est le rapport entre le ppcm des numérateurs sur le pgcd des dénominateurs 

GaBuZoMeu

Ah bon ? Tu es sûr de $$\frac93\vee \frac31 = \frac{ 9\vee 3}{3\wedge 1}\quad ?$$

gebrane

Mais Gabu,  écris  tes rationnels sous forme réduite quand même. La formule se démontre  avec des rationnels sous forme p/q avec pgcd(p,q)=1

GaBuZoMeu

Il aurait été de bon goût de le préciser. 

Si $a, b, c, d$ sont des entiers naturels tels que $ab=0$ et $cd=0$, alors

$$\max(a-b,c-d)= \max(a,c)-\min(b,d)\;.$$

(@gebrane, tu auras bien sûr deviné que $a,b,c,d$ sont des valuations $p$-adiques.)

gebrane

Mh, Il semble que tu as une preuve de la formule différente de la mienne. Cette formule est largement utilisée par les physiciens (traitement du signal), mais je n'avais trouvé nulle part une preuve.