Idèle et symbole de norme résiduelle

noradan

Bonjour
Soit $M=F_{ab}$ la plus grande extension abélienne de $F$. Son groupe de Galois est profini.
 Si $K$ est une sous extension finie abélienne, l'application d'Artin donne un morphisme surjectif
$C_F\longrightarrow Gal(K/F)$
du groupe des classes d'idèles de $F$ sur le groupe de Galois.
En passant à la limite projective on en tire un morphisme de $C_F$ dans $Gal(F_{ab}/F)$.
C'est la définition que donne N. Childress dans son Class Field Th du symbole de norme résiduelle.
Je ne vois pas du tout pourquoi il est continue et surjectif.

Si j'écris un peu les choses, j'ai donc à ma droite une collection compatible d'automorphismes
de sous-extensions $(\sigma_K)$. Par compatible je veux dire que
si $K_1\subset K_2$ alors $\sigma_{K_2}|_{K_1}=\sigma_{K_1}$
Par surjectivité $\forall K,\: \exists c_K, \: \sigma_K={\cal A}_K(c_K)$ où ${\cal A}_K$ est
l'application d'Artin définie sur les idèles $J_F$ ou sur le groupe des classes.
La compatibilité me dit simplement que
si $K_1\subset K_2$  on a ${\cal A}_{K_1}(c_{K_1})={\cal A}_{K_1}(c_{K_2})$
et je ne vois pas du tout comment récupérer une unique classe d'autant que $C_F$ n'est pas compact.

 

Quelqu'un saurait-il m'expliquer cette chose ?

Merci