Calcul stochastique élémentaire

fredaulycee2
Modifié (October 2023) dans Statistiques
Bonjour à tous,
je cherche à calculer $E((\int_0^t B_udB_u)^2)$, où $(B_u)$ désigne un mouvement brownien, j'obtiens un résultat de $\frac{t^2}{2}$ de la façon suivante en utilisant successivement la propriété d'isométrie et la définition du mouvement brownien
$E((\int_0^t B_uB_u)^2)=E(\int_0^tB_u^2du)=\int_0^t E(B_u^2)du = \int_0^t udu=\frac{t^2}{2}$.
Cela vous semble-t-il correct ?
Une question connexe : $(B_t)$ est toujours un mouvement Brownien, je dois maintenant montrer que $(X_t)$ défini par $X_t=e^{B_t}$ est un  processus de Ito, pour cela je calcule $dX_t$ et j'obtiens:
$dX_t=e^{B_t}dt+te^{B_t}dB_t+dE(te^{B_t}) = (e^{B_t}+te^\frac12)dt +te^{B_t}dB_t$
Ce qui me permet de conclure. Ce second calcul vous semble-t-il correct ?
Bonne journée
F
PS: Il y a sans doute aussi un petit Fubini caché dans mon calcul ;-)

Réponses

  • Bibix
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    Pour le premier sujet, c'est mal écrit. Pour la question connexe, je ne comprends pas ce que tu as fait mais j'obtiens avec la formule d'Itô : $dX_t = e^{B_t} dB_t + \frac{1}{2} e^{B_t} dt$ donc je pense que ça doit être faux.
  • fredaulycee2
    Modifié (October 2023)
    Bonjour Bibix,
    merci de ta réponse. Pour le premier sujet, j'ai corrigé les coquilles pour le second j'ai effectivement écrit des bêtises : $d(f(X_t))$ ne se calcule pas avec la dérivée d'une composée :'( Avec la formule d'Ito, j'obtiens la même chose que toi.
    Bonne soirée
    F.
  • "La dérivée d'une composée" tu peux nous en dire plus ? Je ne suis pas certain de te suivre. Je ne connais qu'une dérivée et c'est la dérivée d'Ito.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • fredaulycee2
    Modifié (October 2023)
    "La dérivée d'une composée": j'ai juste transposé la formule $d(v \circ u)$ au calcul stochastique...ce qui ne marche pas bien du tout ;-)
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