Convergence du minimum d’un n échantillon en probabilité

1mn136a1

Bonsoir,
J’ai du mal avec la résolution de la convergence du minimum d’un n échantillon de loi uniforme [0;1], je ne sais pas à partir de quelle inégalité commencer.
Certains me dise de commencer par : 
P(|X-0| > epsilon) = (1-epsilon)^n  —> 0 en proba 
Mais d’autre affirme que c’est plutôt : 
P(|X-0 | < epsilon) = 1 - P(|X-0 > epsilon) = 1 - (1-epsilon)^n -> 0 en proba 

Ce sont deux corrections de deux professeurs différents, je suis totalement perdue. Comment montrer que X1 —> 0 Pr ? 

Je vous mets l’énoncé complet ci dessous

Soit X1, . . . , Xn un n-échantillon de la loi uniforme sur [0, 1]. On rappelle extrêmes de l’échantillon notées X(1) et X(n) sont les variables aléatoires définies par

X(1) = min(X1,...,Xn) et X(n) = max(X1,...,Xn) 

Montrer que converge en probabilité tq : X(1) −→ 0 et X(n) −→ 1.

Merci d’avance pour votre aide

bd2017

Peux-tu au moins écrire la définition? 

Les notations sont malheureuses.  Il vaut mieux noter, par exemple, $A_n$ le min  (et non $X(1)$) et $B_n$ le max. En effet ces variables dépendent de $n.$

Si tu sais que $P(A_n\geq \epsilon)=(1-\epsilon)^n$  je ne vois pas où est le problème.

De même si on sait calculer  le min, le travail avec le max est analogue.

1mn136a1

J’ai repris les notations de l’énoncé. Justement (ça parait peut être évident) mais je ne comprends, est-ce vrai également de dire que
P(An < ε) = 1- P(An>ε) = 1-(1-ε)ⁿ converge en probabilité vers 0 ? 

bd2017

Dans ta question initiale les 2 réponses sont équivalentes mais aussi également incorrectes dans la formulation. J'ai un gros doute que des enseignants de proba puissent écrire cela. 

gebrane

1mn136a1 a dit :

 est-ce vrai également de dire que
P(An < ε) = 1- P(An>ε) = 1-(1-ε)ⁿ converge en probabilité vers 0 ? 

Faux, tu remplaces vers 0 par vers 1

bd2017

Non  @Gebrane!  qu'il remplace par 0 ou  1  ce qu'il dit est faux (n'a pas de sens).

Cela ne peut pas être un prof qui a écrit cela.

1mn136a1

gebrane a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2446789/#Comment_2446789
[Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]

Voilà la correction complète du professeur, je pense qu’il exprime P(An < ε) = 1- P(An>ε), pour déduire que P(An>ε) converge en probabilité vers 0, autrement je ne comprends pas. 

https://drive.google.com/drive/folders/1-rrO45YSc02vPTetp3o9SPUeJDHxvSme

1mn136a1

bd2017 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2446792/#Comment_2446792

[Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]

Vous avez la correction dans le lien juste au dessus (provenant bien d’un professeur !), vous auriez procédé autrement ?

bd2017

Rebonjour

J'ai vu les 2 corrections. Elles sont toutes les 2 correctes. Ce n'est pas ce que tu as reproduit!  (je m'en doutais un peu).

Ce sont des corrections au tableau... donc pour moi pas de problème, excepté la notation $X(1)$ qui est très malheureuse.  

En effet  $\min (X_1,X_2,\dots,X_n)$ est une variable aléatoire qui dépend de $n.$  Il est fortement recommandé que la notation emploie l'indice $n$.  

(J'ai utilisé $A_n$, on aurait pu utiliser $X_{\min}(n)$, ... )  

Ce que tu as reproduit semble montrer que tu ne sais pas "qui converge en probabilité".

bd2017

 pour déduire que P(An>ε) converge en probabilité vers 0

C'est ceci qui n'est pas correct !!! Le fait de le répéter plusieurs fois montre ton problème. 

1mn136a1

Autant pour moi,

D’une part,  il y avait confusion à propos des deux propriétés : lim P(|An|<ε)=1 quand n —+∞   ET lim P(|An|>ε)=0 quand n —+∞
D’autre part, c’est bien la limite qui converge en probabilité
Merci pour votre aide  

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

bd2017

D’autre part, c’est bien la limite qui converge en probabilité

Eh,  bien non !       $P(A_n> \epsilon)$  converge vers $0 $   et c'est la  suite $(A_n)$  qui converge en probabilité vers $0.$

Regarde bien tes 2 enseignants disent cela. 

Toi tu dis que "$P(A_n> \epsilon)$  converge en probabilité vers $0 $"  cela n'a pas de sens. Il y a de la confusion dans l'air. Confusion entre   convergence de la suite  $P(A_n> \epsilon)$   et convergence de la suite $(A_n)$. 

1mn136a1

bd2017
Effectivement, nous avons vu la notion il y 2 jours, le contrôle est dans 1 semaine. J’en ai du travail.
Merci pour votre aide ! 

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

gebrane

bd2017, Bravo tu es pointu, je n'ai même pas vu ce lapsus que tu as ciblé : P(An < ε) converge en probabilité

bd2017

Justement, je ne suis pas certain que cela soit un lapsus. @1mn136a1 pose une question car il a un problème de compréhension quelque part. On veut lui répondre pour l'aider mais  où est ce quelque part? 

On ne sait jamais très bien à quel endroit. Au minimum, je pense qu'il est bien de corriger la formulation.