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Petit exercice à double fond

Des danseurs traditionnels souhaitent compter le nombre de rondes qu’ils peuvent former mais avec une particularité : il n’y a pas une ronde mais deux de même effectif (je corrige, désolé).
Bien entendu, la ronde Ariel-Marcelle-Kamel-JiaLi est la même que Marcelle-Kamel-JiaLi-Ariel mais pas la même que JiaLi-Kamel-Marcelle-Ariel puisqu’on tourne de gauche à droite.
S’il y a n danseurs (n est pair), combien y a-t-il de manières de faire les deux rondes ?

Le double fond : si n est pair, on montre que n divise alors…

L’exercice vient de là :
J’espère l'avoir bien retranscrit.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
        -- Schnoebelen, Philippe

Réponses

  • SocSoc
    Modifié (October 2023)
    $ \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n-2}(n-k-1)!(k-1)!$ ?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • SocSoc
    Modifié (October 2023)
    Raté, je n'ai pas choisi qui composent les rondes...
    Nouvelle tentative: $ \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n-2}\frac{n!}{k(n-k)}$ ?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Modifié (October 2023)
    Je réponds à la question du lien où les deux rondes ont le même nombre de danseurs et ne sont pas emboitées.

    On pose $n=2m$. On place successivement à droite du $1$ les numéros $x_2,\dots,x_m$ d'où $(n-1)\times\dots\times (m+1)$ possibilités, cela fait une ronde.

    Pour l'autre ronde on place successivement à droite de $y_1$ (par exemple le plus petit numéro restant) les numéros $y_2,\dots,y_m$ d'où $ (m-1)!$ possibilités pour la deuxième ronde.

    Bilan : $\dfrac{(n-1)!}m$ possibilités.

    Si les deux rondes sont emboîtées il faut choisir celle qui est à l'intérieur et donc multiplier par $2$.
  • SocSoc
    Modifié (October 2023)
    J'avais interprété autrement (2 rondes n'ayant pas forcément autant de danseurs chacune, mais au moins 2).
    Je recommence avec l'énoncé du site: $\frac{(2p)!}{2p^2}$ 
    Du coup pareil que Jandri mais trouvé autrement: On place tout le monde dans l'ordre (n!). On coupe au milieu pour avoir 2 rondes. Chaque ronde a été comptée p fois donc on divise par p². On divise le tout par 2 car l'énoncé ne tient pas compte de l'ordre des 2 rondes.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • @nicolas.patrois Là il faut faire un dessin de deux rondes emboîtées car je ne comprends pas comment elles peuvent tourner!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Il faut mettre tous les petits dans l'une et tous les grands dans l'autre, mais du coup cela fausse le nombre de possibilités :)
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Modifié (October 2023)
    Ou alors on se colle dans l’une (à la bretonne) et on tend les bras dans l’autre.
    Je suis d’accord avec la formule de jandri $\frac {2(n−1)!} n$, ce qui démontre que si n est pair, n divise 2(n−1)!. Que se passe-t-il si n est impair ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (October 2023)
    nicolas.patrois
    Si n est impair il n'est pas pair et il ne peut pas non plus être un nombre premier.
    [Inutile de reproduire le dernier message. AD]
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Modifié (October 2023)
    Un entier $n$ impair divise $2(n-1)!$ si et seulement si ce n'est pas un nombre premier.
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