Topos

a7bert0

Bonjour
Est-ce que quelqu'un peut me donner un intuition dans la théorie des topos ? 
Je dois étudier ça pour mon examen mais je ne comprends pas trop.
Merci.

Foys

Si ton examen est dans pas longtemps, c'est gênant car il y a de grosses quantités d'informations à assimiler. Dans un premier temps les topos de Grothendieck ont généralisé la théorie des faisceaux sur un espace topologique (en remplaçant l'ensemble des ouverts de l'espace par une petite catégorie arbitraire) et ensuite il y a eu une deuxième généralisation par les topos dits élémentaires (Lawvere).

a7bert0

Bonjour Foys,
Mon examen est dans pas longtemps mais ce n'est pas grave (j'aurais une note aléatoire entre 0 et 20 qu'un prof aléatoire me donnera ; aucune importance). 
Ce que je comprends c'est qu'on peut faire des faisceaux sur une topologie de Grothencdieck ! Je donne un exemple.
Soit $txbf{Ann}$ la catégorie des anneaux commutatifs. Soit $E = \{ R \to \{ (a,b) \in R^2\mid a+b = 1 ,\ ab = 2 \}$, je n'ai pas de problème à comprendre que les solutions se recollent sur un système de co-maximaux de l'anneau R (C'est principalement dû au fait que sur un anneau R, les éléments se recollent sur des co-maximaux).

Foys

Ci-dessous, on donne une définition des topos (de Grothendieck). Il s'agit d'une introduction pour lecteurs qui connaissent déjà les faisceaux sur les espaces topologiques (en espérant que ça rendra la notion plus naturelle). Des exposés détaillés se trouvent dans Mac Lane et Moerdijk: "Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory" et il y a de nombreux documents pédagogiques et des slides sur le site d'Olivia Caramello, par exemple: https://www.oliviacaramello.com/Teaching/Lectures7_to_14.pdf 

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0°) Soit $(X,\tau)$ un espace topologique. Soit $U$ est un ouvert de $X$; on appelle crible sur $U$ tout ensemble $\mathcal C$ d'ouverts de $X$ contenus dans $U$ et tels que pour tous $A,B$ ouverts tels que $A \subseteq B \subseteq U$, si $B \in \mathcal C$ alors $A\in \mathcal C$. Lorsque de plus $U$ est la réunion des éléments de $\mathcal C$ on dit que $\mathcal C$ est couvrant (sur $U$). Etant donné un ensemble $\mathcal E$ de parties ouvertes de $U$, l'ensemble des ouverts de $U$ contenus dans au moins un élément de $\mathcal E$ est le plus petit crible de $U$ contenant $\mathcal E$ et s'appelle le "crible engendré par $\mathcal E$".

1°) Ces notions permettent déjà de donner une caractérisation (exo court) simple des faiseaux: pour tout préfaisceau $\mathcal F$ sur $X$, $\mathcal F$ est un faisceau si et seulement si pour tout ouvert $U\in \tau$, $\mathcal F$ vérifie la condition de recollement habituelle sur les cribles couvrants de $U$ (pour le sens non trivial, utiliser le crible engendré par le recouvrement ouvert envisagé). 

2°) Pour tout ouvert $U$, on note $\mathcal J_U$ l'ensemble des cribles couvrants de $U$. Si $A,B$ sont des ouverts de $X$ tels que $A\subseteq B$, pour tout crible $\mathcal C$ sur $B$, l'ensemble $A^* \mathcal C$ des ouverts de $A$ contenus dans $\mathcal C$ est un crible sur $A$ Alors on a les propriétés assez évidentes (mais utiles à mentionner pour ce qui va suivre):

2-i): Pour tout $U$, le crible maximal $\{V\in \tau \mid V \subseteq U\}$ est dans $\mathcal J_U$. 

2-ii): pour tous $A,B$ ouverts de $X$ tels que $A \subseteq B$ et tout $\mathcal C$ crible sur $B$, si $\mathcal C$ est couvrant sur $B$ alors $A^* \mathcal C$ est couvrant sur $A$ (i.e. $A^*$ envoie $\mathcal J_B$ sur $\mathcal J_A$) 

2-iii): pour tout ouvert $V$, tout crible $\mathcal C$ sur $V$ et tout crible couvrant $\mathcal D$ sur $V$, si pour tout $W\in \mathcal D$, $W^* \mathcal C$ est couvrant sur $W$, alors $\mathcal C$ est couvrant sur $V$. 

3°) Disons qu'un crible d'un ouvert $V$ est stable par réunion lorsque pour toute partie $\mathcal D$ de $\mathcal C$, la réunion des éléments de $\mathcal D$ appartient encore à $\mathcal C$. Soit $\Omega^{\mathcal J} (V)$. On peut munir $V \mapsto \Omega^{J} (V)$ d'une structure de faisceau en posant pour tous $V,W$ tels que $V\subseteq W$ et tout $\mathcal E\in \Omega^{\mathcal J} (W)$, $\rho^{\mathcal J}_{V,W} (\mathcal E) := V^* \mathcal E$. 

4°) Pour tout ouvert $V$ de $X$, on note $\Omega(V)$ l'ensemble des ouverts de $X$ contenus dans $V$. Lorsque $V,W$ sont des ouverts de $X$ tels que $V\subseteq W$ et lorsque $A\in \Omega(W)$, on pose $\rho_{V,W} (A):= V \cap A$. Alors $(V\mapsto \Omega(V), (V,W) \mapsto \rho_{V,W})$ est un faisceau qui s'avère être isomorphe à $\left (V \mapsto \Omega^{\mathcal J} (V), (V,W) \mapsto \rho^{\mathcal J}_{V,W} \right)$. L'isomorphisme qui fait ça est donné simplement pour tout $V$ par l'application $\mathcal A \in \Omega^{\mathcal J} (V) \mapsto \bigcup_{B \in \mathcal A} B \in \Omega (V)$, dont on vérifie immédiatement qu'elle est bijective (par définition des cribles couvrants). $\Omega^{\mathcal J}$ (ou encore $\Omega$) s'appelle le classifiant des sous-objets de la catégorie des faisceaux de $(X,\tau)$. La raison pour laquelle nous avons introduit $\Omega^{\mathcal J}$ en plus de $\Omega$ est que le premier se généralise aux situations qui seront évoquées ci-dessous.

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La structure $(X,\tau)$ ne prête pas le flanc à une généralisation évidente à première vue. En revanche tout ce que nous avons dit aux points 1°), 2°) et 3°) ci-dessus peut s'adapter mutatis mutantis aux catégories. C'est vraiment la même chose. Ci-dessous, $C$ désigne une catégorie (petite pour éviter des déconvenues non vraiment pertinentes). On supposera que pour tous $x,y,z,t\in C$, $Hom(x,y)\cap Hom(z,t) = \emptyset$, sauf lorsque $(x,y) = (z,t)$. Pour tous $x,y\in C$ et $f\in Hom(x,y)$, $dom(f)$ désigne ci-dessous $x$ et $codom(f)$ désigne $y$. Les éléments de $\bigcup_{(x,y)\in C^2} Hom(x,y)$ s'appellent les "flèches" de $C$.

5°) Pour tout $x\in C$, un crible sur $x$ et une partie $K$ de $\bigcup_{y\in C} Hom(y,x)$ telle que pour tout $f\in K$ et toute flèche $g$, si $codom(g) = dom(f)$ alors $f \circ g \in K$.

6°) Etant donné $x,y\in C$, $K$ un crible sur $y$ et $f\in Hom(x,y)$, on désigne par $f^*K$ l'ensemble des flèches $g$ telles que $codom(g) = dom(f)$ et $f \circ g \in K$. Il s'agit (évidemment) d'un crible sur $x$.

7°) Pour tout $x\in C$, $\bigcup_{y\in C} Hom(y,x)$ est le plus grand crible sur $x$; c'est également le seul qui contient $id_x$.

8°) On appelle topologie de Grothendieck sur $C$ une famille $(J_x)_{x\in C}$ telle que pour tout $x\in C$, tous les éléments de $J_x$ sont des cribles sur $x$, et qui vérifient les axiomes suivants (généralisant les remarques du point 2° ci-dessus):

8-i) Pour tout $x\in C$, le crible maximal de $x$ appartient à $J_x$ 

8-ii) Pour tous $x,y\in C$, tout $f\in Hom(x,y)$ et tout $K \in J_y$, $f^* K \in J_x$ 

8-iii) pour tout $x\in C$, tout $R\in J_x$ et tout crible $S$ de $x$, si pour tout $g\in R$, $g^* S \in J_{dom(g)}$ alors $S \in J_x$.

(consulter 2-i, 2-ii et 2-iii ci-dessus pour comprendre d'où ces axiomes viennent). Un couple $(C,J)$ où $C$ est une catégorie (petite) et $J$ une topologie de Grothendieck est appelé un site. Pour tout $x\in C$, Les éléments de $J_x$ sont dits "couvrants" pour $x$ afin de généraliser le vocabulaire employé au 0°).

9°) Un préfaisceau sur $C$ est un foncteur contravariant de $C$ vers la catégorie des ensembles.

10°) Soit $(C,J)$ un site et $F$ un préfaisceau sur $C$. On dit que $F$ est un faisceau lorsque pour tout $x\in C$, tout $R\in J_x$ et tout $s\in \prod_{g\in R} F(dom(g))$, si pour tout $h\in R$ et toute flèche $k$ telle que $codom(k) = dom(h)$, F(k) (s_h) = s_{h \circ k}, alors il existe un unique $s\in F(x)$ tel que pour tout $g\in R$, $F(g) (s) = s_{dom(g)}$. Cela généralise le point 1°) ci-dessus.

11°) Ceci généralise le point 3°: Pout tout $x\in C$, soit $\Omega^J (x)$ l'ensemble des cribles $K$ tels que pour toute flèche $f$ telle que $codom(f) = x$, si $f^* K \in J_{dom (f)}$ alors $f \in K$. Alors pour tous $y,z\in C$, tout $g\in Hom(y,z)$ et tout $L\in \Omega^J(z)$, $\Omega^J (g) (L):= g^* L \in \Omega^J(y)$. On peut montrer que $\Omega^J$ est un faisceau (appelé "classifiant des sous-objets" de $(C,J)$).

GaBuZoMeu

Bonjour,

@a7bert0 : un examen, dis-tu ? Pour quel cours ?

Ton exemple n'est pas très clair. Est-ce que tu tentes de décrire un faisceau sur le site formé par la catégorie duale de la catégorie des anneaux commutatifs (de présentation finie ?), munie de la topologie de Zariski (engendrée par les $(A\to A[a_i^{-1}])_{i=1,\ldots,n}$ où les $a_i$ sont comaximaux).