Moyenne empirique d'une suite de var iid qui ne sont pas de carré intégrable

Ch4rstz

Est-ce que la moyenne empirique d'une suite de var indépendantes et de mêmes lois qui ne sont pas de carré intégrables peut être de carré intégrable ?

J'ai envie de dire non pour un exercice mais je bloque. Dans l'exercice je pars de la suite de var iid discrète de loi pour tout k >= 1 pk = C/k^3 où C est l'inverse de la somme de la série des 1/k^3

Merci d'avance pour vos réponses

Bibix

Si les variables aléatoires sont positives p.s. et de carré non intégrable alors la moyenne empirique n'est pas de carré intégrable.

Ch4rstz

Est-ce que tu aurais une indication pour la preuve ou le lien d'un document qui traite du sujet s'il te plait ? 

Bibix

Ben c'est plutôt évident vu que $(\sum_i X_i)^2 \geq \sum_i X_i^2$ p.s. .

Poirot

Sous les hypothèses de Bibix, cela provient simplement de la minoration $S_n \geq \frac{X_1}{n}$.

Ch4rstz

Ah oui merci je n'avais pas vu l'hypothèse de positivité !