$\R$ est un ouvert-fermé

Bethebesteveryday

Bonjour
s'il vous plait, pourquoi $\R$ est un ouvert et fermé en même temps ?
Merci pour vos clarifications.

Chalk

$\R$ n'est pas un ouvert de $\R^2$ pour la topologie usuelle.
$\R$ est un ouvert et fermé de $\R$ par définition d'une topologie.

Bethebesteveryday

Je n'ai pas compris votre première phrase

GaBuZoMeu

Bonjour,

"Ouvert" et "fermé" n'ont de sens que par rapport à un espace ambient. $\mathbb R$ est ouvert dans $\mathbb R$ et fermé dans $\mathbb R$. Tout espace topologique $X$ est fermé dans $X$ et ouvert dans $X$.

Pour la topologie usuelle sur $\mathbb R$, les seuls ouverts-fermés sont $\emptyset$ et $\mathbb R$.

Math Coss

Plus terre à terre : $\R$ est ouvert dans $\R$ parce que pour tout élément $x$ de $\R$, il existe un intervalle ouvert qui contient $x$ et qui est contenu dans $\R$ – par exemple $\left]x-1,x+1\right[$ ; $\R$ est fermé dans $\R$ parce que toute suite qui converge dans $\R$ converge dans $\R$ (eh !), ou bien parce qu'il est impossible d'exhiber un point dans l'ensemble vide qui n'appartient pas à un intervalle ouvert contenu dans l'ensemble vide [simplement parce qu'il est impossible d'exhiber un point dans l'ensemble vide... cela montre que le complémentaire de $\R$ dans $\R$ est un ouvert].

Soc

Si tu te demandes si un ensemble est ouvert ou fermé, c'est que tu le considères comme une partie d'un ensemble. Il faut donc être clair sur qui est l'ensemble dont il fait partie. Ensuite il faut préciser pour l'ensemble auquel tu t'intéresses aux sous-ensembles de quelle topologie il est muni, car plusieurs topologies différentes sont possibles sur un même ensemble. D'où les différentes réactions;

* De qui considères-tu R comme un sous-ensemble?
* De quelle topologie est-il muni?

Tant que tu n'as pas précisé cela, ta question n'a pas de sens.

Tes interlocuteurs ont bien deviné que tu parlais de R dans R, muni de sa topologie usuelle, mais ils ont également deviné que la définition de topologie n'est pas claire pour toi et ils t'invitent à leur façon à la revoir de près, ce qui devrait te permettre de répondre rapidement à ta propre question.

Un cas simple qui peut aider à comprendre, c'est que l'ensemble des parties définit toujours une topologie, pour laquelle tout est à la fois ouvert et fermé.

Bethebesteveryday

Parce que moi je connais pour l'instant que la topologie de $\R$.
Merci beaucoup pour les détails.
Sinon pourquoi $\R$ n'est pas un ouvert de $\R^2$ pour la topologie de $\R$ ?

DeGeer

Si tu considères $\mathbb{R}$ comme une partie de $\mathbb{R}^2$, alors tu dois utiliser une topologie sur $\mathbb{R}^2$, pas sur $\mathbb{R}$. Or, pour la topologie usuelle sur $\mathbb{R}^2$ (celle définie par la distance usuelle : $A \subset \mathbb{R}^2$ est ouvert si pour tout $x \in A$, il existe $\varepsilon >0$ tel que le disque de centre $x$ et de rayon $\varepsilon$ soit inclus dans $A$), $\mathbb{R}$ n'est pas ouvert. Par contre, pour la topologie discrète (celle où toutes les parties sont ouvertes), $\mathbb{R}$ est ouvert.

Math Coss

Il y a tellement de façons d'envoyer $\R$ dans $\R^2$ – et aucune vraiment canonique – que la question « $\R$ est-il ouvert et fermé de $\R^2$ ? » n'est pas vraiment plus précise que « $\R$ est-il ouvert et fermé ? »...

Bethebesteveryday

$\R$ peut-être un fermé de $\R^2$ ? puisque pour tout $x$ élément de $\R$ on peut construire une boule centrée en $x$ qui intersecte $\R$. 

gerard0

Et ça prouve quoi ? (Quelle définition, quel théorème utilises-tu ?)

Cordialement.

Bibix

Et qu'est-ce qui se passe si on prend une courbe qui remplit l'espace pour envoyer $\R$ dans $\R^2$ ? Par exemple, en prenant $H$ la courbe de Hilbert (ou celle de Péano) et $f(x) = \tan\left( \pi H(x) - \frac{\pi}{2}\right)$, on obtient $f : \R \to \R^2$ surjective donc "$\R$ est ouvert et fermé dans $\R^2$".

Poirot

@Bibix Mais une telle courbe ne peut être injective, donc il est maladroit d'identifier $\mathbb R$ à $f(\mathbb R)$. Si $R$ est une image homéomorphe de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$ alors $R$ ne peut être ouverte dans $\mathbb R^2$ car tout ouvert de $\mathbb R^2$ privé d'un point est connexe, ce qui n'est pas le cas de $\mathbb R$, donc de $R$. Un argument plus délicat permet de généraliser à une image homéomorphe de $\mathbb R^m$ dans $\mathbb R^n$ avec $m < n$.