La résolution d'un sous-système linéaire ...

EtNonLesShills

Titre initial "La résolution d'un sous-système linéaire donne-t-elle généralement une approximation des solutions ?"
[Un titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour poser ta question. AD]

Soit A matrice de taille n inversible, B vecteur colonne de taille n et X solution de AX=B
On ne recherche pas X en entier seules certaines de ses composantes nous intéressent. Notons E l'ensemble des indices des composantes qui nous intéressent.  On définit A|E la sous-matrice de A composée des éléments ayant leur coordonnées dans E²  et que l'on supposera inversible et B|E le sous-vecteur de B composé des éléments ayant leur indexation dans E. On définit de même X|E le vecteur X composé des éléments de X ayant leur indexation dans E. On définit S(E) par l'unique élément vérifiant :
A|E S(E) = card(E)/n B|E. 
La question est : peut-on alors alors dire que la plupart du temps S(E) est plus ou moins égal à X|E ?
et si oui dans quelle mesure ? 

Je ne doute pas que quelqu'un s'est déjà posée la question si la réponse est positive de quelque manière que se soit.

Noveang

Bonjour
Pour ce genre de question, le problème est justement de préciser ce que tu entends par "la plupart du temps" et "plus ou moins égal".
On doit pouvoir sans trop de problème trouver un système linéaire qui peut être pathologique, c'est-à-dire tel que $S(E)$ soit arbitrairement loin de $x$ qu'on le souhaite.
Cela dit cette idée est exploitée en analyse numérique. Si on pose $Y \in \mathbb{R}^{n \times k}$, cela revient à résoudre,
$$
 Y^\top A Y \, x = Y^\top b,
$$ en lieu et place du système général.