Partie non vide et bornée

OShine

Bonjour
Soit $A$ une partie non vide et bornée de $\R$. 
Montrer que $\sup \{  |x-y | \mid x,y \in A \}= \sup A - \inf A$.

Je n'arrive même pas à montrer que $\sup A- \inf A$ est un majorant de $\{  |x-y | \mid x,y \in A \}$.
J'ai écrit $\forall x,y \in A ,\  |x-y | \leq  |x|+ |y | \leq  2 \sup A$.

Barjovrille

Bonjour, 
Quelle est la définition de $|x|$?

Si tu n'arrives pas a démarrer tu peux commencer par le cas où $A=[a,b]$, traduis l'énoncé avec ce $A$ ça pourra t'aider à voir ce qu'il se passe.

bd2017

On utilise les propriétés des inégalités vues au collège :

$\forall  x,y \in A$   on a      $\inf A  \leq  x \leq  \sup A$ et  $ -\sup  A  \leq  -y \leq  -\inf A$

En ajoutant membre à membre,  on obtient   $$\inf A-\sup A    \leq  x - y \leq  \sup A - \inf A  $$ ce qui est équivalent à
$$0   \leq  |x - y| \leq  \sup A - \inf A . $$
Ensuite  on considère une suite $(x_n)$  de A  qui converge vers $\sup A$  puis une suite ... à finir. 

lourrran

Tu as écrit  $\forall x,y \in A \  |x-y | \leq  |x|+ |y | \leq  2 \sup A$

Non seulement ça ne fait pas avancer le dossier, mais en plus c'est faux.
Imagine le cas où $A$ est l'intervalle $[-2, -1]$

Depuis la réouverture du forum, tu attaques des exercices simples, c'est bien, mais tu accumules les fautes à un point inimaginable.

noobey

Petit rappel Oshine
1 ligne = 1 faute chez toi 


Mets toi ça dans le crâne une bonne fois pour toute
Donc relis toi à chaque fois avant de poster et teste à chaque fois sur des exemples

OShine

Barjovrille
On a $|x| = \max(-x,x)$.
En effet, merci. Si $A=[a,b]$, alors $\inf A=a$ et $\sup A=b$. 
Donc $\sup \{ |x-y| \mid x,y \in A \} = b-a$. Ca semble logique.
On prend le plus grand écart qui existe entre $x$ et $y$ dans $A$. 

OShine

@noobey
Oui grosse erreur.

@lourrran
Ces notions sont fondamentales pour comprendre les cours de plus haut niveau.
Si $A=[-2,-1]$ alors $|0|+|0|=0$ n'est pas inférieur ou égal à $2 \sup A = -2$ !

@bd2017
D'accord merci. 
On sait que : 

• Il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ tel que $x_n \longrightarrow \sup A$.
• Il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $A$ tel que $y_n \longrightarrow \inf A$.

On cherche une suite $(z_n)$ d'éléments de $\{ |x-y| \ , \ (x,y) \in A^2 \}$ tel que $z_n \longrightarrow \sup A- \inf A$.
Posons $\forall n \in \N, \ z_n=| x_n -y_n|$.
On a $x_n -y_n \longrightarrow \sup A - \inf A$.
Donc $z_n \longrightarrow | \sup A- \inf A|$.
Comme $\sup A \geq \inf A$, on en déduit $z_n \longrightarrow \sup A - \inf A$.

On a montré : $\boxed{\sup \{ |x-y| \mid (x,y) \in A^2 \}= \sup A - \inf A}$.

lourrran

Je vais noter $a= Inf A$ et $b= Sup A$
Par définition, comme $x$ et $y$ sont dans $A$ :  $a \le x \le b$ (1) et aussi $a \le y \le b$ (2)
On multiplie la 2ème inégalité par $-1$, ce qui inverse l'ordre puisque $-1$ est négatif : $-b \le -y \le -a$ (3)
On additionne (1) et (3), ce qui donne $a-b \le x-y \le b-a$  
Et je pense que là, on peut conclure que $|x-y| \le b-a$
$b-a$ est un majorant de notre ensemble. Reste à prouver que c'est le plus petit des majorants.

Je me trompe peut-être, mais toutes les propriétés que j'ai utilisées, je crois que ce sont des propriétés que tu enseignes à tes élèves.

OShine

@lourrran
Oui comme l'a dit @bd2017 c'est niveau collège.
Je me suis laissé impressionné par la valeur absolue au départ, alors que j'aurais du travailler sans pour commencer.