Est-ce une bijection ?

Cidrolin

Bonjour
Désignons par $A$ l'ensemble des éléments de $\N^*$ dont l'écriture décimale est : 

$x_m x_{m-1}\dots x_2x_1$, avec  $x_m \leq x_{m-1}\leq \dots \leq x_2<x_1$ ;

et par $B$ l'ensemble des éléments de $\N^*$, non multiples de $10$ dont la somme des chiffres est $9$.

La fonction $f: n\mapsto 9n$ est-elle une bijection de $A$ sur $B$ ?

Je n'arrive ni à le démontrer, ni à trouver un contre-exemple.

gerard0

Bonjour.

Avec $x_2<x_1$, les éléments de A ont au moins deux chiffres, et 9=9x1 est dans B.

Mais peut-être s'agit-il d'une erreur de frappe ?

Cordialement.

GaBuZoMeu

Bonjour

Est-ce que ça marche en base $b$, mutatis mutandis ? Oui pour $b=2,3$.

Cidrolin

Merci Gérard,
 $1$ est dans $A$ Je voulais dire que le chiffre des dizaines (s'il existe) est différent du chiffre des unités.
Amicalement

john_john

Bonsoir,
le fait que $f(A)\subset B$ doit pouvoir s'établir par une récurrence sur $m$ ; je ne veux pas tenter de le rédiger à cette heure avancée mais voici ce que j'observe. Avec $X=34$, alors $9X$ ne peut avoir que $3$ comme chiffre dominant, car $X>33$ et $9*33=297$. Si l'on veut prolonger $X$ par un chiffre de centaines, ce sera par $1$, $2$ ou $3$. On va donc ajouter à $9X$ les nombres $900$, $1800$ ou $2700$, qui ont un chiffre de centaines au moins égal à $7$, ce qui va causer une retenue.
Par exemple, $1800+306=2106$ ; or, la retenue diminue strictement la somme des deux sommes des chiffres des opérandes, tout en la maintenant modulo $9$ : la somme des chiffres de $1800$ et celle de $306$ est $9$, mais la nouvelle somme est $<9+9$ et cela ne peut qu'être $9$.

jandri

C'est surprenant mais c'est vrai.

Il est facile de montrer que $f$ va de $A$ dans $B$ : 

si $n=x_mx_{m−1}\dots x_2x_1$ avec  $x_m\leq x_{m−1}\leq\dots\leq x_2<x_1$

alors $f(n)=10n-n=x_m[x_{m−1}-x_m]\dots [x_2-x_3][x_1-x_2-1][10-x_1]$ qui est bien dans $B$ ($1\leq10-x_1\leq9$).

Réciproquement si $n=y_my_{m−1}\dots y_2y_1$ est dans $B$ alors $\displaystyle\sum_{k=1}^m  y_k=9$ et $y_1\geq 1$ ; on peut écrire : 

$n=y_1+10y_2+\dots+10^{m-1}y_m=\displaystyle\sum_{k=1}^m y_k+ 9y_2+99y_3+\dots+(10^{m-1}-1)y_m$

d'où $g(n)=\dfrac n9=1+y_2+11y_3+\dots+1\dots1y_m=(1+y_2+\dots+y_m)+10(y_3+\dots +y_m)+100(y_4+\dots +y_m)+\dots+10^{m-2}y_m$
qui est bien dans $A$ puisque $1+y_2+\dots+y_m=10-y_1\leq 9$.

On a bien $f\circ g=id_B$ et $g\circ f=id_A$.

La même démonstration s'applique à n'importe quelle base $b$ avec $f(n)=(b-1)n$ et la condition $\displaystyle\sum_{k=1}^m  y_k=b-1$ pour $B$.

john_john

De même, si un entier $X$ ne respecte pas la clause de Cidrolin, son image n'est pas dans $B$.

Il y a plusieurs cas à disjoindre : celui d'un $X$ multiple de $10$, celui d'un $X$ de la forme $100Y+11*c$, où $c$ est un chiffre entre $1$ et $9$ et enfin celui d'un $X$ pour lequel on a au moins une fois $x_{\ell+1}>x_\ell$. Dans les deux derniers cas, l'absence d'au moins une retenue fait que la somme des sommes de chiffres des opérandes est au moins $9+9$.

Par exemple, $9*255=2250+45$ (pas de retenue au niveau des dizaines) : la somme finale est $9+9-0$.

De même, $9*545=9*500+9*45=4500+405$ mais il n'y a pas de retenue au niveau des centaines ; $9+9$ reste $9+9$.

Bien entendu, cela reste vrai a fortiori si l'une des sommes de chiffres est déjà $>9$.

Sans doute est-ce ce que jandri a théorisé avec talent !

john_john

Bonjour, Cidrolin,

Comment t'es-tu posé cette question ? Est-ce à la suite d'observations ? Ce n'est pas par hasard que l'on considère l'ensemble $A$ mais peut-être t'es-tu demandé au contraire quels sont les entiers de la forme $Y/9$, où $Y\in B$, et, là, tu es tombé naturellement sur l'ensemble $A$.

Me trompé-je ?

Cidrolin

Bonjour,

jandri : un seul mot "merci et bravo"

john john : sur twitter (devenu X) j'ai vu récemment un jeu de mot en espagnol.

L'auteur parlait de : nombre sin cero, faisant référence au poème de José Martí,

Yo soy un hombre sincero
De donde crece la palma,
Y antes de morirme quiero
Echar mis versos del alma.

Je me suis souvenu de ce fil https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1911088#Comment_1911088

J'ai ensuite cherché à peaufiner.
Amicalement.

Cidrolin

Il faudrait retrouver cette discussion : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,534759,1147355#msg-1147355

Amicalement

john_john

 ¡ un nombre sin cero <> un hombre sincero ! (j' eu du mal à placer le point d'exclamation inversé en début de ligne 

et en plus, cela se prononce presque de la même façon.

jandri

J'ai compris pourquoi j'ai trouvé aussi rapidement, je l'ai retrouvé dans mes archives : 

voir le point 3) dans un message de @Cidrolin  dans Des chiffres en ordre croissant

ou bien aussi : mystère du chiffre neuf

ou encore : Nombre sans zéro

Cidrolin

Pour les jeunes, voici une méthode (auteur = Arthur Benjamin)  pour multiplier un nombre de deux chiffres par $9$.

Le produit de $ab$ par $9$ s'obtient en calculant $ab-(a+1)$ et en y concaténant $10-b$.

Par exemple calculons $78\times 9$,

$78-8=70$ donc le résultat est $702$.

Cette méthode fonctionne aussi pour les entiers plus grands.

Calculons $6785$ fois $9$, ici $a=678$ et $b=5$

$6785-679=6106$, le résultat est donc $61065$