Puissances de polynômes annulateurs

Kravi

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre la solution de : " si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de la matrice A, est lui même annulateur de A, alors A est diagonalisable"

Solution du livre.
Soit k1, k2, ..., kr les valeurs propres et m1, m2, ..., mr leurs multiplicités.
Soit P = (X-k1)(X-k2)…(X-kr).
Soit m = max (m1, m2, ..., mr).
 Alors    P^β est multiple du polynôme caractéristique donc annulateur de A.
Par hypothèse P(A) = 0.
 Donc A annulée par un polynôme scindé simple est diagonalisable
Merci.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Il faut lire $P^m$ au lieu de $P^\beta$. À part cela, que ne comprends-tu pas ?

Kravi

J'avais bien compris pour la puissance de P qu'il s'agissait d'une coquille.

Par contre on part d'un polynôme P déjà scindé à racines simples annulateur de A pour finir par démontrer qu'il est scindé à racines simples et annulateur !

Désolé je dois faire un blocage.
je pensais qu'il fallait prendre un polynôme P annulateur, tel qu'une puissance de P soit aussi polynôme annulateur et en déduire que P était obligatoirement scindé à racines simples.

AlainLyon

$A=\left(\begin{array}[cc] 0 &1\\0&0\end{array}\right)$, $X^2$ annule $A$, toute puissance de $X^2$ annule $A$ et pourtant $A$ n'est pas diagonalisable!

GaBuZoMeu

Je précise l'hypothèse :

Pour tout polynôme $P$, s'il existe une puissance $P^k$ qui annule $A$, alors $P$ annule $A$.

On applique cette hypothèse au polynôme $S=(X-k_1)\cdots(X-k_r)$. Puisque $S^m$ annule $A$, l'hypothèse entraîne que $S$ annule $A$.

Pour l'exemple d'Alain Lyon, l'hypothèse n'est pas vérifiée puisque le polynôme $X$ a une puissance qui annule $A$, mais $X$ n'annule pas $A$.

Kravi

GaBuZoMeu merci, je pensais bien que j'avais mal interprété la question.

Essayer de répondre quand on a mal compris la question, ce n'est pas pratique.

merci bonne soirée

GaBuZoMeu

Avec plaisir.

Tu n'étais visiblement pas le seul à avoir mal interprété le texte.