Calcul d'espérance conditionnelle

Sn

Bonjour
On se fixe $\lambda$ et $\mu$ deux réels strictement positifs, et $X,Y$ deux variable aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}_+$ respectivement telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$$
\mathbb{P}(X=n, Y \leq t ) = \mu \int_0^t \frac{{(\lambda y)}^n}{n!} e^{- (\lambda + \mu)y} dy
$$ 
Je cherche à calculer $E[Y \mid X]$. Pour ce faire, je sais que 
$$
P(X=n)=\frac{\mu \lambda^n}{{(\lambda + \mu)}^n}
$$ et que la densité de $Y$, noté $f_Y$, est donnée par $$
f_Y(y)= \mu e^{-\mu y}.
$$ Ainsi, je calcule $E[Y \mid X=n]$ : 
$\displaystyle E[Y \mid X=n]= \frac{E[Y 1_{X=n}]}{P(X=n)}= \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{X=n} \mu y e^{-\mu y} dx dy}{P(X=n)}= \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} \mu y e^{-\mu y} dy P(X=n)}{P(X=n)}= \int_{-\infty}^{+\infty} \mu y e^{-\mu y}  dy= 1$.
Or, la correction m'indique que je dois avoir $E[Y \mid X=n]= \dfrac{n+1}{\lambda+\mu}$.

En vous remerciant par avance pour votre aide, et en vous souhaitant une bonne semaine,

sevaus

Bonjour,

Ton erreur vient de fait que tu supposes que $X$ et $Y$ sont indépendantes lors de ton calcul d'intégrale.
Une manière de trouver la formule annoncée est de calculer $\mathbb{E}\left[Y 1_{\left[X = n \right]}\right]$ via la formule $\mathbb{E}[Z] = \displaystyle \int_0^{+\infty} \mathbb{P}(Z > t)\,\mathrm{d}t$ valable dès que $Z$ est positive.

Sn

Merci pour votre réponse.
J'essaie donc de calculer comme vous me l'avez indiqué.

Cependant, je ne comprends pas très bien, dans mon précédent calcul, où est exactement l'erreur. Par là, où est-ce que j'ai rompu le fait que ces deux variables aléatoires soient, peut-être, dépendantes.

Barjovrille

Bonjour @Sn , comment justifies-tu le passage suivant  : $E[Y 1_{X=n}]= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{X=n} \mu y e^{-\mu y} dx dy$ ?
Moi je connais les formules suivante : $E[Y 1_{X=n}]= \int_{\Omega} Y(\omega) 1_{\{n\}}(X(\omega))d\mathbb{P}(\omega)$. 
Avec le théorème de transfert, on a aussi $E[Y 1_{X=n}]= \int_{X(\Omega) \times Y(\Omega) } y 1_{\{n\}}(x) d\mathbb{P}_{(X,Y)}(x,y)$.
(dis-moi si il y a des notations que tu ne comprends pas je détaillerai). 
Si tu n'arrives pas à justifier c'est peut-être à cet endroit qu'il faut chercher l'erreur.
Il y a aussi une faute ici : $\int_{-\infty}^{+\infty} \mu y e^{-\mu y}  dy= 1$ cette égalité n'est pas vraie.

Sn

Mille merci ! je vois bien le problème à présent.