Rubans de Pascal

Rudy

Bonjour. Je me demandais quelle était la méthode la plus simple (celle qui demande le moins de dépense intellectuelle) pour construire mentalement un ruban de Pascal. Par exemple, pour la divisibilité par 17, chercher successivement le reste de 17 dans 10, 100, 1000 etc  est plutôt fastidieux. D'où ma question : quelle est la méthode la plus simple pour construire un ruban de Pascal.

Merci

nicolas.patrois

Autre méthode : comme 17×3=51, il suffit de soustraire 5 fois le chiffre des unités au nombre de dizaines et de recommencer récursivement jusqu’à reconnaître (ou non) un multiple de 17.
Au fait, le symbole d’égalité aussi ne passe pas ici au clavier, même en mode d’édition hacheteumeuleu.

Rudy

Oui oui bien sûr. C'est d'ailleurs le critère de division le plus simple à mettre en oeuvre. Mais moi je parle du ruban de Pascal pour 17.

c à d :  [12 8 11 13 3 2 7 16 5 9 6 4 14 15 10 1].
Attention, cette question est peut-être faussement naïve.
Rudy

lourrran

Les premiers résultats ($r_1=1$,$r_2=10$ et $r_3=15$), il n'y a pas de simplification possible.
Pour trouver $r_4=14$, on peut calculer modulo$( r_3 \times 10, 17 )$ et ainsi de suite.

$r_{n+1} =$ modulo$( r_n \times 10, 17)$
On ne traite que des nombres inférieurs à $170$.

Pour trouver ce $r_{4}=14$, on peut travailler par 'complément' ; 150 est un 'grand' nombre , le complément de 150 à 170, c'est 20, et modulo(20,17)=3, donc le nombre recherché est 17-3=14 

Rudy

Merci pour la réponse.

L'idée des rubans vient de Blaise Pascal, vers 1650. Le problème des critères de divisibilité (entre autres) sera repris par Gauss vers 1800. Celui-ci introduisant les notions de congruence, modulo ...

Ta première méthode vient tout droit de Pascal et se ramène bien (dans notre langage) à rn+1= modulo(rn×10,17) avec r1 = 1

Au final, avec cette méthode il faudra trouver le reste de 17 dans 10 ; 20 ; 30 ; 40 ... jusqu'à 140 ; 150 et 160 (dans le désordre).

Toutefois, si je veux construire le ruban avec mon seul cerveau (donc sans l'aide d'une calculette), j’aimerais m’épargner des calculs trop pénibles (du genre modulo (160;17)). D’où ma question, est-ce là la méthode la plus simple ?

Je ne connaissais pas la deuxième méthode, elle est intéressante, sauf qu'on y rencontre les mêmes modulos.
Vraiment, il n'y a pas plus simple ?
Rudy.

lourrran

On sait que tous les multiples de 10 entre 10 et 160 vont apparaître à un moment ou un autre, c'est juste qu'on ne connaît pas l'ordre.
On les calcule donc tous et on les note sur un papier. Et ça peut se faire sans la moindre multiplication. Juste des opérations où soit on ajoute 10, soit on retranche 17.
10=10 mod 17
20=10+10 mod 17 et comme le nombre obtenu dépasse 17, on retire 17 ; on obtient 3.
30=3+10 mod 17
40=13+10 = 6 mod 17
50=6+10mod 17
etc.

Rudy

Ok. Ainsi tu trouves facilement les éléments du ruban.

En bref, tu arrives à ceci :

10     20     30     40     50     60     70     80     90   100  110  120   130  140  150  160

10      3      13      6      16       9       2     12       5     15      8      1     11      4    14      7

Sauf que les éléments du ruban sont dans le désordre.

Comment fais-tu en pratique pour les mettre dans l'ordre ?

Rudy

lourrran

Le premier élément (à partir de la droite), c'est 1, puis 10

Puis 10x10=100, et 100 est remplacé par 15
15x10=150, donc on prend le 14
14x10=140, donc on prend 4
4x10=40, donc on prend 6
6x10=60, donc on prend 9
etc

Rudy

Voici ce que je propose.
Méthode rapide pour trouver R 17 (le ruban de Pascal pour la div. par 17).

D’abord on écrit les deux colonnes suivantes :
(je reprends donc ta méthode)
n dom (n-1+10;17)
1   10 mod (0+10 ; 17) = 10
2   3 mod (10+10 ; 17) = 3
3   13 mod (3+10 ; 17) = 13
4   6 mod (13+10 ; 17) = 6
5  16
6   9
7   2
8  12
9    5
10  15
11   8
12   1
13  11
14   4
15  14
16   7
17   0

Ensuite, en allant de la colonne de gauche à celle de droite :
Nous avons 1 qui donne 10
puis 10 qui donne 15 (toujours de gauche à droite)
puis 15 donne 14
14 donne 4
4 donne 6
6 donne 9
… jusque
8 qui donne 12
1 puis les nombres de droite forment le ruban recherché :  [12 8 11 13 3 2 7 16 5 9 6 4 14 15 10 1]
C'est très facile à mettre en œuvre. Je ne pense pas qu'on puisse faire mieux.
Rudy

lourrran

Voilà, bien résumé.