Montrer qu'une variable aléatoire est l'espérance conditionnelle

Sn

Bonjour
Soit $(X_n)_{n≥1}$ une famille de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$. On suppose ces variables aléatoires indépendantes, de même loi et d’espérance $\mu = E[X_1]$. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, indépendante de la famille $(X_n)_{n\geq1}$. On pose $S = {\sum_{i=1}}^N X_i$ . Si $N = 0$, on pose par convention $S = 0$.
 1. Pour $n ∈ N$ calculer $E[S | N = n]$. En déduire $E[S | N]$ puis $E[S]$.

On a $E[S | N = n]=n\mu$ et je dois montrer que $E[S | N ]=N \mu$. 
Cependant, je n'arrive désespérément pas à montrer que, pour tout $B \in \sigma(N)$, $\ E[S1_B]=E[N \mu 1_B]$.
En vous remerciant par avance,

GaBuZoMeu

Bonjour,

Du moment que $E(S\mid N=n)=\varphi(n)$, on a bien $E(S\mid N)=\varphi(N)$, non ?

Sn

En effet ! Merci.