Normes sur $\mathbb R^n$

Poirot

Bonjour à tous

Soit $N$ une norme sur $\mathbb R^n$. Existe-t-il $m \in \mathbb N^*, f_1, \dots, f_m \in \mathrm{GL}(\mathbb R^n), \alpha_1, \dots, \alpha_m \in \R^+$ et $p_1, \dots, p_m \in [1, \infty]$ tels que pour tout $x \in \mathbb R^n$, $$N(x) = \sum_{k=1}^m \alpha_k ||f_k(x)||_{p_k},$$ où $|| \cdot ||_p$ est la norme $p$ usuelle sur $\mathbb R^n$ ?

Ou alors, y a-t-il des normes que l'on peut distinguer des normes usuelles en dimension finie ? Merci d'avance pour vos réponses.

Math Coss

Tu connais certainement la norme de jauge associée à un convexe borné d'intérieur non vide symétrique par rapport à l'origine. Je ne vois pas comment on pourrait affirmer que le bord de ce convexe a une équation de la forme $N(x)=1$ où $N$ est de la forme que tu envisages.

AlainLyon

 @Poirot : Si ça peut t'aider : on se donne n'importe quel convexe $C$ d'intérieur non vide avec $0$ appartenant à l'intérieur de $C$ et invariant par l'homothétie de rapport $-1$ alors il existe  une norme $N$ dont $C$ est la boule unité. Réciproquement : pour toute norme $N$ sa boule unité est un tel convexe $C$. Ta question revient à savoir si tel un convexe $C$ est image réciproque de $1$ par $x\mapsto \sum_{k=1}^m \alpha_k \vert\vert f_k(x)\vert\vert_{p_k}$ appelle intuitivement un contre-exemple. Je propose de regarder ce qui se passe en dimension $1$ ou $2$.

Math Coss

Oui, ça aide – on peut par exemple prendre $C=\bigl\{(x,y)\mid \exp|x|+\exp|y|\le3\bigr\}$.

Edit : rectification après le message ci-dessous.

bisam

Tu voulais sans doute dire $\leq$ à la place de $=$, @Math Coss , sinon, $C$ n'est pas très convexe et ne contient pas non plus $(0,0)$.

AlainLyon

Alors je suggère $C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\exp\vert x-y\vert\leq 1\rbrace$

MrJ

Un ami m’a posé exactement la même question il y a peu de temps et nous avons conclu de la même manière : en utilisant la notion de jauge et des fonctions transcendantes, on sent que ce n’est pas vrai (mais nous n’avons pas rédigé de preuve précise).

Foys

L'idée des jauges est naturelle et séduisante mais pour le coup c'est un leurre (ce n'est pas une critique; j'avais eu exactement la même ). Montrons qu'il y a des normes qui ne sont pas de la forme annoncée en dimension 2. Soit $N$ une fonction comme celle du message de Poirot. Alors l'ensemble des $x \in [0,2\pi[$ tels que $t \mapsto N(\cos (t), \sin (t))$ n'est pas dérivable en $x$ est fini (cela se produit à cause des normes $1$ et $\infty$ de la somme, toutes non dérivables en 4 points). Soit $d$ une fonction injective de $\N$ dans une partie dense de $[0,2\pi[$. Alors $N_0:= (x,y) \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{-n} \max \left \{ |\cos (d_n) x + \sin(d_n) y|; |\cos (d_n) y - \sin (d_n) x|\right\}$ fournit un contre-exemple (la fonction $t \mapsto N_0 (\cos(t), \sin (t))$ n'est dérivable en aucun point de l'image de $d$ puisque pur tout $n$, c'est la somme d'une fonction non dérivable en $d_n$ et d'une série convergente de fonctions dont la série des dérivées est normalement convergente).

Math Coss

@bisam : euh, oui, je corrige...

@AlainLyon : cet ensemble $C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\exp\vert x-y\vert\leq 1\rbrace$ n'est pas borné puisque toute la diagonale $\{(x,y)\mid y=x\}$ est incluse dans $C$.

@Foys : tu parles de leurre parce que la démonstration n'est pas aisée ou parce que le résultat est faux ?

Edit : ajout de $C=\cdots$

AlainLyon

@Math Coss. $C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid \exp(\vert x\vert +\vert y\vert)\leq 1\rbrace$ est fermé borné, d'intérieur non vide contenant $(0,0)$, il est symétrique par rapport à $(0,0)$, il est convexe, et la croissance de l'exponentielle étant plus forte que tout polynôme, $C$ n'est pas la boule fermée d'un $N$ tel que @Poirot la définit.

Poirot

Merci pour vos réponses. Au fond, y a-t-il une caractérisation des normes sur $\mathbb R^n$ parmi toutes les fonctions continues de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^+$ ?

AlainLyon

@Poirot Si je n'écris pas trop de bêtises la caractérisation des boules unités de normes revient à se donner une classe de lacets simples, convexes, symétriques autour du point nul.