Normes sur $\mathbb R^n$
Bonjour à tous
Soit $N$ une norme sur $\mathbb R^n$. Existe-t-il $m \in \mathbb N^*, f_1, \dots, f_m \in \mathrm{GL}(\mathbb R^n), \alpha_1, \dots, \alpha_m \in \R^+$ et $p_1, \dots, p_m \in [1, \infty]$ tels que pour tout $x \in \mathbb R^n$, $$N(x) = \sum_{k=1}^m \alpha_k ||f_k(x)||_{p_k},$$ où $|| \cdot ||_p$ est la norme $p$ usuelle sur $\mathbb R^n$ ?
Ou alors, y a-t-il des normes que l'on peut distinguer des normes usuelles en dimension finie ? Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
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Tu connais certainement la norme de jauge associée à un convexe borné d'intérieur non vide symétrique par rapport à l'origine. Je ne vois pas comment on pourrait affirmer que le bord de ce convexe a une équation de la forme $N(x)=1$ où $N$ est de la forme que tu envisages.
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@Poirot : Si ça peut t'aider : on se donne n'importe quel convexe $C$ d'intérieur non vide avec $0$ appartenant à l'intérieur de $C$ et invariant par l'homothétie de rapport $-1$ alors il existe une norme $N$ dont $C$ est la boule unité. Réciproquement : pour toute norme $N$ sa boule unité est un tel convexe $C$. Ta question revient à savoir si tel un convexe $C$ est image réciproque de $1$ par $x\mapsto \sum_{k=1}^m \alpha_k \vert\vert f_k(x)\vert\vert_{p_k}$ appelle intuitivement un contre-exemple. Je propose de regarder ce qui se passe en dimension $1$ ou $2$.
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Oui, ça aide – on peut par exemple prendre $C=\bigl\{(x,y)\mid \exp|x|+\exp|y|\le3\bigr\}$.Edit : rectification après le message ci-dessous.
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Tu voulais sans doute dire $\leq$ à la place de $=$, @Math Coss , sinon, $C$ n'est pas très convexe et ne contient pas non plus $(0,0)$.
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Alors je suggère $C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\exp\vert x-y\vert\leq 1\rbrace$
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Un ami m’a posé exactement la même question il y a peu de temps et nous avons conclu de la même manière : en utilisant la notion de jauge et des fonctions transcendantes, on sent que ce n’est pas vrai (mais nous n’avons pas rédigé de preuve précise).
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L'idée des jauges est naturelle et séduisante mais pour le coup c'est un leurre (ce n'est pas une critique; j'avais eu exactement la même ). Montrons qu'il y a des normes qui ne sont pas de la forme annoncée en dimension 2. Soit $N$ une fonction comme celle du message de Poirot. Alors l'ensemble des $x \in [0,2\pi[$ tels que $t \mapsto N(\cos (t), \sin (t))$ n'est pas dérivable en $x$ est fini (cela se produit à cause des normes $1$ et $\infty$ de la somme, toutes non dérivables en 4 points). Soit $d$ une fonction injective de $\N$ dans une partie dense de $[0,2\pi[$. Alors $N_0:= (x,y) \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{-n} \max \left \{ |\cos (d_n) x + \sin(d_n) y|; |\cos (d_n) y - \sin (d_n) x|\right\}$ fournit un contre-exemple (la fonction $t \mapsto N_0 (\cos(t), \sin (t))$ n'est dérivable en aucun point de l'image de $d$ puisque pur tout $n$, c'est la somme d'une fonction non dérivable en $d_n$ et d'une série convergente de fonctions dont la série des dérivées est normalement convergente).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@bisam : euh, oui, je corrige...@AlainLyon : cet ensemble $C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\exp\vert x-y\vert\leq 1\rbrace$ n'est pas borné puisque toute la diagonale $\{(x,y)\mid y=x\}$ est incluse dans $C$.@Foys : tu parles de leurre parce que la démonstration n'est pas aisée ou parce que le résultat est faux ?Edit : ajout de $C=\cdots$
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@Math Coss. $C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid \exp(\vert x\vert +\vert y\vert)\leq 1\rbrace$ est fermé borné, d'intérieur non vide contenant $(0,0)$, il est symétrique par rapport à $(0,0)$, il est convexe, et la croissance de l'exponentielle étant plus forte que tout polynôme, $C$ n'est pas la boule fermée d'un $N$ tel que @Poirot la définit.
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Merci pour vos réponses. Au fond, y a-t-il une caractérisation des normes sur $\mathbb R^n$ parmi toutes les fonctions continues de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^+$ ?
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