Majoration assez compliquée

Bethebesteveryday

Bonsoir.
Je pose mon problème :
on se donne la fonction suivante $f(x,y)=x^3 y/(x^4+y^2)$ si $(x,y)\neq 0$ et $f(0,0)=0$ à voir si elle est continue.
J'ai montré qu'elle est continue en 0 en utilisant les coordonnées polaires donc partout.
Mais, au premier coup j'ai essayé de la majorer (je pense toujours à la majoration) néanmoins je suis bloquée sur une partie :
$$|x^3y|/x^4+y^2\leq |(x^4+y^2) x|/2(x^4+y^2),$$ car $(x^2-y)^2\geq 0$, donc $x^4+y^2\geq 2x^2y$,  donc $|x^3y|\leq |(x^4+y^2)x|/2$.
Pourriez-vous m'aider à plus améliorer cette inégalité ?
Merci.

Benoit RIVET

Si $M$ est le point de coordonnées polaires $\bigl(r, \theta\bigr)$, on peut exprimer $f(M)$ en fonction de $r$ et $\theta$. Quelle est la limite lorsque $r\to 0$ et $\theta$ est fixé ?

gerard0

Bonjour.

Ne s'agirait-il pas de $f(x,y)=x^3 y/\big(x^4+y^2\big)$ plutôt ?
Celle que tu as écrite $\big(f(x,y)=\frac y x + y^2$ pour $(x,y)\neq 0\big)$ n'est pas prolongeable par continuité en $(0,0)$.

Et la majoration que tu as trouvée suffit amplement.
Cordialement.

Bethebesteveryday

gerard0
Oui c'est ça la fonction , je ne l'ai pas bien écrite je pense.
[Inutile de recopier le dernier message. AD]

Bethebesteveryday

gerard0 Une disjonction des cas sur x par exemple suffira ?

Bethebesteveryday

Benoit RIVET a dit :

Si $M$ est le point de coordonnées polaires $\bigl(r, \theta\bigr)$, on peut exprimer $f(M)$ en fonction de $r$ et $\theta$. Quelle est la limite lorsque $r\to 0$ et $\theta$ est fixé ?

0

gerard0

Pas la peine,

quand $(x,y)\to (0,0), \ \ x\to 0$.

Chaurien

Soit $f(x,y)=\dfrac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}$. Après passage par polaires, je trouve que $\left\vert f(x,y)\right\vert \leq (x^{4}+y^{2})^{\frac{1}{4}}$.

Démonstration directe : cette inégalité équivaut à : $x^{12}y^{4}\leq (x^{4}+y^{2})^{5}$. Le développement de $(x^{4}+y^{2})^{5}$ par la formule du binôme de Newton ne comporte que des termes positifs, dont l'un est $10x^{12} y^4$.

Soit $\left\Vert (x,y)\right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Si $\left\Vert (x,y)\right\Vert \leq 1$ alors $x^{4}+y^{2}\leq x^{2}+y^{2}$, d’où : $\left\vert f(x,y)\right\vert \leq \left\Vert (x,y)\right\Vert ^{\frac{1}{2}}$.

Il en résulte que la fonction $f$  est continue en $(0,0)$.

C'est un peu tarabiscoté comme preuve, mais il me semble que c'est correct, non ?
Bonne journée de froidure.
Fr. Ch.

Chaurien

Cette fonction $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}$ est-elle différentiable en $(0,0)$ ?

Dans un fil récent, initié aussi par Bethebesteveryday, J'ai indiqué que cette différentiabilité équivaut à :  $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{f(x,y)}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }=0$.
Soit $g(x,y)=\frac{f(x,y)}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }=\frac{x^{3}y}{(x^{4}+y^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.
Si  $x>0$, alors  $g(x,x^{2})=\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}$, qui n'a pas pour limite $0$ quand $x\rightarrow 0$.

La fonction $f$ n'est donc pas différentiable en $(0,0)$.

Chaurien

Encore un mot sur cette fonction $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}$.

 Il me semble que la dérivée directionnelle en $(0,0)$ de cette fonction $f$ selon tout vecteur $u=(\alpha,\beta)  \in \mathbb R^2$\$\{(0,0)\}$ existe, et que cette dérivée est $D_u f(0,0)=0$. 

Prolongée par $(0,0) \mapsto 0$, l'application $u \mapsto D_u f(0,0)$, de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$, est donc linéaire, comme c'est le cas lorsque la fonction $f$ est différentiable. Et pourtant celle-ci ne l'est pas.

Cyrano

Bonjour Chaurien,

Tu avais déjà traité en détail ce genre de contre-exemples dans un fil que j'avais initié il y a plusieurs années.
Petit rappel : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1414354/contre-exemples-classiques 

Ca m'avait été bien utile à l'époque d'ailleurs.

Chaurien

Bravo Cyrano pour la longue mémoire. J'ai écrit récemment que je me souvenais de l'existence de ce fil mais que je n'arrivais pas à le retrouver. Je vais archiver la référence.

Bien cordialement,

Fr. Ch.

math2

Moi j'aurais eu envie de faire jouer des rôles similaires à $x^4$ et $y^2$. Je considère donc naturellement la fonction $h:x\mapsto f(x,x^2)$. Le calcul de la dérivée de $h$ en $0$ de manière directe et par la formule de composition (si différentiable) donnerait $1/2=0$.

Chaurien

À la réflexion, il y a plus simple pour la continuité de $f(x,y)=\dfrac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}$.

On a :  $2x^{2}\left\vert y\right\vert \leq x^{4}+y^{2}$ parce que $(x^4+y^2)-2 x^2|y|= (x^2-|y|)^2$. 

C'est signalé dans le premier message de ce fil, quoique sous une forme que je ne trouve pas très claire.

Il en résulte :  $\left\vert f(x,y)\right\vert =\dfrac{2x^{2}\left\vert y\right\vert }{x^{4}+y^{2}} \cdot \frac{1}{2}\left\vert x\right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert x\right\vert \leq \frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}\left\Vert (x,y)\right\Vert $.