Suite définie implicitement avec cosinus

OShine

Bonsoir,

1) Montrer que pour tout $n \in \N$, l'équation $x^n= \cos (x)$ d'inconnue $x \in [0,1]$ possède une et une seule chose solution $x_n$.
2) Montrer que $(x_n)$ converge et préciser sa limite.

Je vais utiliser l'exercice traité ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2335573/sens-de-monotonie-dune-suite-definie-implicitement#latest

1) Soit $x \in [0,1]$. Je pose $f_n(x)=x^n- \cos (x)$.
On a $f_n '(x)=nx^{n-1} + \sin (x) \geq 0$ car $[0,1] \subset [0,\pi/2]$.
$f$ réalise une bijection strictement croissante de $[0,1]$ dans $[-1,1-\cos(1)]$, et comme $1-\cos(1) >0$, le TVI nous dit que $f_n(x)=0$ possède une unique solution $x_n$.
2) Il reste à montrer que $f_{n+1} (x)-f_n(x) \geq 0$.
Comme  $f_{n+1} (x)-f_n(x) = x^n ( x-1) \geq 0$ c'est bien vrai et donc $(x_n)$ est strictement décroissante, étant minorée par $1$, elle converge.
Par contre, je ne vois pas comment déterminer la limite, l'exercice donné en lien ne fournit pas la limite.
Résoudre l'équation $f(\ell)=\ell$ ne me semble pas évident.

Bibix

Pourquoi tu parles de $f(\ell) = \ell$ ? Par passage à la limite, on a $\underset{n \to +\infty}{\lim} \cos(x_n) = \underset{n \to +\infty}{\lim} x_n^n$. Ainsi, si $x_n \to \ell < 1$, on a $\cos(x_n) \to 0$ donc $\ell = 1$.

OShine

Merci bien vu ! J'ai rectifié l'erreur de frappe dans la dérivée. 

On a $\ell \in [0,1]$. Donc $\ell \leq 1$.
On a $\cos (x_n) \longrightarrow 0$ et l'application Arccos est continue en $0$ donc $\arccos( \cos (x_n))=x_n \longrightarrow \arccos( 0)=1$.
En effet, $\forall x \in [0,\pi] \ \arccos( \cos (x) ) =x$ et ici on a $x_n \in [0,1] \subset [0,\pi]$.
Avec ton raisonnement, on en déduit $\ell \geq 1$ donc finalement $\ell=1$. 

bd2017

OShine a dit :

donc $(x_n)$ est strictement décroissante, étant minorée par $1$, elle converge.

Pas mal!  Ceci  +  le fait que tu trouves que $L=1$  cela ne te choque pas ? 

bd2017

OShine a dit :

On a $\cos (x_n) \longrightarrow 0$ et l'application Arccos est continue en $0$ donc $\arccos( \cos (x_n))=x_n \longrightarrow \arccos( 0)=1$.

$\arccos(0) =1$  !!  Avec ça en plus quel est ton but ?  Aligner une suite de raisonnement qui ressemble à des mathématiques ?  

OShine

J'ai l'exercice suivant qui ressemble mais je bloque aussi sur la limite.
1) Montrer que pour tout $n \in \N^{*}$ l'équation $x^n+x^{n-1} + \cdots +x=1$ d'inconnue $x \in \R^{+}$ possède une et une seule solution $x_n$. 
On pose $f_n(x)=x^n+ x^{n-1} + \cdots +x-1$.
On a $\forall x \in \R^{+} \ f_n '(x)=nx^{n-1} + (n-1) x^{n-2} + \cdots + 1 \geq 0$.
$f_n$ réalise une bijection strictement croissante de $\R^{+}$ sur $[-1,+\infty[$.
Le TVI permet d'affirmer que $f_n(x)=0$ possède une unique solution $x_n \in \R^{+}$.
De plus $f_{n+1} (x)-f_n (x)= x^{n+1} \geq 0$ donc $f_{n+1} (x) \geq f_n(x)$.
De plus $(x_n)$ est décroissante. 

2) Montrer que $x_n ^{n+1}=2x_n -1$ pour tout $n \in \N^{*}$.
On a $f_n(x_n)=0$ donc $\displaystyle\sum_{k=1}^n x_n ^k -1=0$.
Ainsi $\displaystyle\sum_{k=0}^n x_n ^k =2$ donc $\dfrac{1-x_n ^{n+1}}{1-x_n}=2$.
On vérifie que $x_n \ne 1$.
En réarrangeant on trouve $\boxed{\forall n \in \N^{*} \ x_n ^{n+1} = 2x_n -1}$.

3) Montrer que $(x_n)_{n \in \N}$ converge et préciser sa limite.
$(x_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers un réel $\ell \geq 0$.
D'après la relation précédente, $\ell^{n+1} = 2 \ell -1$.
Je bloque ici.

gai requin

N’importe quoi ta dernière relation !
Montre nous que $l=\dfrac1 2$.

bd2017

Je te fais remarquer que tu as tout faux mais tu continues avec un autre. 

OShine

Bibix a dit :

Pourquoi tu parles de $f(\ell) = \ell$ ? Par passage à la limite, on a $\underset{n \to +\infty}{\lim} \cos(x_n) = \underset{n \to +\infty}{\lim} x_n^n$. Ainsi, si $x_n \to \ell < 1$, on a $\cos(x_n) \to 0$ donc $\ell = 1$.

Je n'ai pas compris le passage de $\cos (x_n) \longrightarrow 0$ à $\ell =1$.

Bien sûr $\arccos(0)= \pi /2$ et $(x_n)$ est minorée par $0$.

Bibix

Tu bloques alors que le raisonnement est exactement le même. Et tu te trompes en plus... as-tu vraiment compris pourquoi $\ell = 1$ pour le premier exo de ce fil ?

OShine

Non pour le premier je n'ai pas compris pourquoi $\ell=1$. 

lourrran

4 ou 5 exercices quasiment identiques en 2 jours, pourquoi pas.
Mais en principe, quand on fait plusieurs exercices quasiment identiques, on demande de l'aide pour le premier, et ensuite on a toutes les clés pour les suivants.

zeitnot

"Il reste à montrer que $f_{n+1} (x)-f_n(x) \geq 0$.

Comme  $f_{n+1} (x)-f_n(x) = x^n ( x-1) \geq 0$ c'est bien vrai"
La mère Denis, ne va pas être contente ! Dans quel intervalle se promène $x$ ? Quel est le signe de $x-1$

" Résoudre l'équation $f(\ell)=\ell$ ne me semble pas évident."
OShine, dans quel type de suite, la limite quand elle existe, vérifie-t-elle ce type d'équation ?

OShine

@zeitnot
Oui c'est $\forall x \in [0,1] \ x^n (x-1) \leq 0$ donc $f_n(x) \geq f_{n+1} (x)$ et $(f_n)$ est décroissante.
La suite $(x_n)$ est donc strictement croissante et majorée par $1$, donc elle converge.
$f(\ell)=\ell$ dans les suites récurrentes du style $u_{n+1}=f(u_n)$.

@lourrran
Pour déterminer la limite, je ne trouve pas que les raisonnements soient identiques, il faut bien réfléchir et se creuser la tête.

@Bibix
Si $\ell <1$ alors $\cos (x_n) \longrightarrow 0$. Mais alors $x_n \longrightarrow \arccos (0)= \pi /2$. Ceci est impossible car $\ell \in [0,1]$.
Donc $\ell=1$.

@gai requin
On a $x_n ^{n+1} =2 x_n -1$.
Raisonnons par disjonction de cas. 

• Si $x_n \in [0,1/2[$, alors $2x_n -1 \in [-1,0[$. La limite de $2x_n-1$ est dans $[-1,0]$ alors que celle de $x_n ^{n+1}$ est nulle. L'unique possibilité est $2x_n -1 \longrightarrow 0$ soit $x_n \longrightarrow \dfrac{1}{2}$.
• Si $x_n \in [1/2,1[$, alors $2x_n -1 \in [0,1[$. La limite de $2x_n-1$ est dans $[0,1[$ alors que celle de $x_n ^{n+1}$ est nulle. L'unique possibilité est $2x_n -1 \longrightarrow 0$ soit $x_n \longrightarrow \dfrac{1}{2}$.
• Le cas $x_n =1$ est impossible sinon $x_n$ n'est pas solution de l'équation. 
• Si $x_n \in ]1,+\infty[$, alors $x_n ^{n+1} \longrightarrow + \infty$ et $2x_n -1$ diverge vers $+\infty$ donc $x_n \longrightarrow +\infty$ ce qui est absurde car $(x_n)$ converge.

On a montré que $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} x_n = \dfrac{1}{2}}$.

Bibix

Si, les deux exercices sont quasi-identiques. On cherche la solution $x_n$ de $x^n+x^{n-1}+...+x = 1$ dans $\R_+$ ce aui implique que cette solution vérifie $x_n \leq 1$. On a $x_n \to \ell$ :
_ Si $\ell < 1$, alors $2x_n-1 \to 0$ donc $\ell = \frac{1}{2}$. 
_ Si $\ell = 1$, on a une contradiction avec l'équation de départ.

gai requin

@OShine : C’est l’horreur des quantificateurs !

OShine

@gai requin
Oui j'ai écrit n'importe quoi.

@Bibix
Merci.
Je n'avais pas vu le $x_n \leq 1$...

gai requin

Quelle est la contradiction si $l=1$ ?

OShine

Le dernier exercice sur le même thème. Je ne suis pas sûr à 100% de la limite à 1.c.

Exercice : 
1.a) Montrer que l'équation $\ln x = -n x$ d'inconnue $x \in \R^{+*}$ possède une et une seule solution $x_n$ pour tout $n \in \N$.
Posons $f_n(x)=\ln x +nx$ définie sur $\R^{+*}$ et dérivable.
On a $f_n '(x)=\dfrac{1}{x}+n >0$. 
$f_n$ réalise une bijection strictement croissante de $\R^{+*}$ dans $\R$. Le TVI permet de conclure.

1.c) Monotonie de $(x_n)$.
On a $\forall x \in \R^{+*} \ f_{n+1} (x) -f_n(x)=x>0$ donc $f_{n+1} (x) \geq f_n(x)$
D'après les exercices vus précédemment, $(x_n)$ est décroissante.

1.c) Etudier $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} x_n$.
$(x_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers $\ell \geq 0$.
On a : $\ln (x_n)=-n x_n$.
Si $x_n \longrightarrow \ell >0$, alors $\ln (x_n) \longrightarrow \ln ( \ell)$ alors que $-n x_n \sim -n$ donc $-n x_n \longrightarrow - \infty$. 
Alors $\ell \leq 0$. 
Finalement : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} x_n=0}$.

2) On pose $y_n =n x_n$ pour tout $n \in \N^{*}$.
a) Etudier  $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} y_n$
b) Montrer que $y_n+ \ln (y_n)=\ln n$ pour tout $n \in \N^{*}$, puis que  $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{y_n}{\ln n}=1$.

AlainLyon

@OShine 1.c Par l'absurde : supposes que $l>0$ et trouves une contradiction!

gai requin

2) $\lim y_n=+\infty$ donc $\lim\dfrac{\ln y_n}{y_n}=0$.

OShine

Ok merci.
2.a) On a $y_n = - \ln (x_n) \longrightarrow + \infty$. 

OShine

2.b) On a $y_n+ \ln(y_n)= n x_n + \ln (n x_n)= n x_n + \ln (n) + \ln (x_n)=f_n(x_n)+ \ln (n)=0+ \ln (n)$.
On a bien $\boxed{y_n + \ln (y_n)=\ln n}$.

@gai requin merci !
On a $\dfrac{y_n + \ln (y_n)}{ y_n}= \dfrac{\ln n}{y_n}$ donc $1+ \dfrac{ \ln (y_n)}{y_n}= \dfrac{ \ln n}{y_n}$.
On en déduit $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{ \ln n}{y_n}=1$.
Enfin : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{ y_n}{ \ln n}=1}$.