Suite définie implicitement avec tangente

OShine

Bonjour
J'ai des difficultés avec Q2. J'ai utilisé Géogebra, je pense que $(x_n)$ est croissante et qu'elle converge vers $\pi /2$ mais j'ai des difficultés à le prouver.

1) Montrer que l'équation $x+ \tan(x)=n$ d'inconnue $x \in ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ possède une et une seule solution $x_n$, pour tout $n \in \N$.
Posons $f(x)=x+ \tan (x)-n$.
$f$ est dérivable sur $I=]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ et on a $f'(x)=2+ \tan^2(x) >0$.
$f$ réalise une bijection strictement croissante de $]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ sur $\R$.
Comme $f$ est continue sur $I$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x_n \in I$ tel que $f(x_n)=0$. $f$ étant bijective, ce $x_n$ est unique.

2) Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
Etudions la monotonie de $(x_n)$. 
On a $f(x_{n+1})-f(x_n)= x_{n+1}+\tan (x_{n+1} ) -(n+1) - x_n - \tan (x_n)+ n$
$0=x_{n+1}-x_n+ \tan (x_{n+1})-\tan (x_n)-1$
Donc $x_{n+1}-x_n=1- \dfrac{ \sin (x_{n+1} - x_n)}{\cos (x_{n+1}) \cos (x_n) }$.

Ensuite j'ai essayé plein de formules de trigo, d'étudier le signe, mais sans succès.

noobey

Pour savoir si Un est croissante ou non fais un dessin stp

OShine

J'ai tracé plusieurs $f_n(x)=\tan (x)+x-n$ sur Géogebra, $(x_n)$ semble clairement croissante.

noobey

Non trace plutot tan(x)+x  et trouve u1,u2,..

OShine

Je ne comprends pas le lien entre $x \mapsto \tan (x)+x$ et $x_n$.
Ici on n'a pas une relation du type $u_{n+1} = f( u_n)$.

noobey

Si tu as la courbe f(x)=tan(x)+x  tu n'arrives pas à trouver graphiquement u1 ? 

OShine

Si mais c'est dans le cas où $u_{n+1} = \tan (u_n)+u_n$. Il y a des appli Géogebra qui le font.
Je ne comprends pas le rapport avec l'exercice où $x_n$ vérifie $\tan (x_n)+x_n -n=0$.

noobey

La lecture graphique de l'équation f(x)=1 est vu en classe de seconde.
De rien.

bd2017

Il faut avoir un peu de mémoire. 
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2335566/suite-definie-implicitement#latest
Cet exercice date de  2 jours. 

OShine

@noobey
Je ne comprends pas de quoi tu parles ni le rapport avec la question 2.

@bd2017
Pourquoi l'auteur de la fiche d'exercice a mis cet exercice juste après celui dont tu cites le lien s'il n'y a rien à faire ? 
On n'est pas exactement dans le même cas de figure, ici l'intervalle est un ouvert $]-\pi /2, \pi/2[$, dans l'exercice précédent il est du type $[a,b[$.

bd2017

Pas mal ta question        Tu es le champion des remarques absurdes.
Au passage, j'avais demandé ta figure. C'est vrai que  @zeinot n'y tenait pas tant que ça.
Mais je pense que pour comprendre tes difficultés, cela serait bien de voir comment tu  lis le résultat sur une figure. 

noobey

Incroyable, tu n'as pas compris que u1 est la solution de l'équation f(x)=1? Et u2 celle de f(x)=2 ?

OShine

@bd2017
On ne peut pas importer d'image.
Pourquoi l'auteur de la fiche d'exercice a mis cet exercice si le précédent donne directement la réponse ? 

@noobey
Si je sais faire, et on voit bien que $(x_n)$ est croissante. Mais le prouver est une autre histoire.

bd2017

Tu recopies la démonstration de l'exercice que j'ai donné en lien.  A croire que tu n'as rien compris à cet exercice puisqu'ici c'est le même.  

NicoLeProf

C'est exactement la même chose que ce fil que bd a déjà mentionné.

Il suffit de poser $f(x)=x+\tan x$, de prouver que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]- \pi/2 ; \pi/2[$ et de remarquer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f(x_n)=n$.

lourrran

Je me faisais la remarque déjà hier qu'il a l'air très bien ce bouquin. 
Et ces 2 exercices très ressemblants qui se suivent, c'est très bien, c'est la base de la pédagogie.

OShine

D'accord merci.

bisam

Je fais couramment remarquer à mes élèves qu'ils ont appris à étudier la monotonie des fonctions AVANT d'apprendre à dériver... et ici, utiliser la dérivée est franchement inutile !!!

OShine

@bisam
Merci pour le conseil. 
Montrons que $f$ est strictement croissante.
On a $f(x)=x+\tan (x)$ définie sur $I=]-\pi/2,\pi/2[$.
Soient $x,y \in I$ tels que $x<y$. Alors $x + \tan (x) < y + \tan(x)$.
La fonction $\tan$ étant strictement croissante sur $I$, on a $\tan (x) < \tan (y)$.
Donc $f(x) < f(y)$.
On a montré $\boxed{\forall (x,y) \in I^2 \ x<y \implies f(x) < f(y)}$.

OShine

@bd2017
J'ai regardé la fiche d'indication et il est dit : 
"Représenter $x_n$ sur un dessin, formuler une conjecture, puis exploiter la réciproque de la fonction $x \mapsto x + \tan (x)$."

Je ne comprends pas trop le rapport avec la fonction réciproque. 

gai requin

Que vaut $ \lim\limits_{x\to +\infty}f^{-1}(x)$ ?

Alexique

Peut-être parce que $f(x_n) = n \iff x_n=...$ ?
Bon courage aux gens qui t'aident (enfin qui pensent t'aider, comme d'habitude).

OShine

@gai requin
J'ai regardé le cours de sup, je ne vois pas de résultat qui permet de déterminer la limite de la fonction réciproque.
On sait juste que la fonction réciproque est symétrique de la fonction par rapport à la première bissectrice.
Au sait aussi, que si $f$ est strictement monotone alors $f^{-1}$ aussi et $f$ et $f^{-1}$ ont la même monotonie.
Sur Géogebra j'ai l'impression que c'est $\pi/2$ mais je ne sais pas le démontrer. 

@Alexique
$f(x_n)= n \iff x_n =f^{-1} (n)$. Mais je ne vois pas quoi en faire.

gai requin

Le  baba sur les fonctions réciproques comme par exemple $\exp$ et $\ln$.
Soit $\varepsilon>0$.
Pour tout $x>f(\pi/2-\varepsilon)$, on a $f^{-1}(x)>\pi/2-\varepsilon$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f^{-1}(x)=\pi/2$.

OShine

J'ai rarement voir jamais vu ce genre de raisonnement avec les fonctions réciproques...
On a pour $x > f( \pi /2 - \varepsilon)$, $f^{-1}(x) - \pi /2 > - \varepsilon$.
Or $f^{-1} (x) < \pi /2$ donc $f^{-1} (x)- \pi /2 < 0$. 
Ainsi $|f^{-1} (x)- \pi /2| =\pi /2 - f^{-1} (x)$. 
Donc on a bien $\boxed{\forall \varepsilon >0 \ \exists A=f(\pi /2 -x) \in \R \ , \forall x \geq A \ |f^{-1} (x)- \pi /2 | < \varepsilon}$.
Donc $\boxed{x_n =f^{-1} (n) \longrightarrow \dfrac{\pi}{2}}$.

gai requin

Tu fais comment pour montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$ ? (niveau terminale)

OShine

Question intéressante. 
Soit $M \in \R$. Il existe $N=e^M \in \R$ tel que $\forall x \in \R^{+*} \ ( x \geq N \implies \ln (x) \geq \ln (e^M)=M)$.
On a montré que $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln x =+ \infty}$.

gerard0

Toujours le défaut de compétence sur les mathématiques du lycée (pas rectifié par le passage en taupe et encore moins par le refus de les étudier en vue du Capes).

bd2017

Perso, si j'étais en terminale, je n'y comprendrai rien.  

OShine

Les fonctions réciproques ce n'est pas niveau terminale. 

bd2017

Alors je change ma remarque. Si j'étais en  L1 je n'y  comprendrais rien.

De plus, il faut réfléchir un tant soit peu. La démonstration demandée est une question de pédagogie. Elle s'inscrit dans un cours élémentaire sur la fonction logarithme. Comment est introduite la fonction logarithme ? 

Fonction réciproque de la fonction exponentielle, ou bien comme une intégrale ... ($\ln  x=\int_1 ^x  1/u du$ ) ou fonction solution d'une équation fonctionnelle...

C'est-à-dire que si  j'avais à répondre à la question de @lourrran, je préciserais le contexte dans lequel je vais répondre à la question. Ensuite j'écris quelque chose compréhensible par les élèves...  

Rem. Tu utilises  toujours les mêmes entourloupes :  "ce n'est pas au programme" ... au lieu de dire "je ne  sais pas faire".

OShine

Quel est le souci de ma preuve ? J'utilise la définition de limite vue en sup. 
Je n'ai pas fait une démo pour les élèves de terminale, de toute façon je n'ai que des collégiens.

bd2017

Je l'ai déjà dit! Quel est le contexte de ta preuve? Il faut  deviner. 

Ensuite c'est très mal argumenté.

OShine

Mal argumenté ? Ca prend une ligne la preuve. 
C'est la définition de la limite.
$\lim_{+ \infty} \ln = + \infty$ si et seulement si : 
$\forall M \in \R \ , \exists N \in \R \ \ , \forall x \in \R^{+*} \ \ , \ \ (x \geq N \implies \ln (x) \geq M )$.

bd2017

Oui c'est mal argumenté.  Laissons le forum décider....  

OShine

J'ai oublié de dire que $\ln$ était strictement croissante pour justifier le $x \geq N \implies \ln (x) \geq \ln (N)$.

bd2017

OShine a dit :

J'ai oublié de dire que $\ln$ était strictement croissante pour justifier le $x \geq N \implies \ln (n) \geq \ln (N)$.

Quel b...!

lourrran

Du coup, la fonction  $f$ : $f(x) = ln(x)+\sin(x)$, comment on va faire pour étudier sa limite, vu qu'elle n'est pas monotone ?

OShine

@lourrran
C'est assez simple.
Soit $x>1$ on a $f(x)= \ln(x) ( 1+ \dfrac{\sin (x) }{ \ln(x) } )$.
$\dfrac{\sin (x) }{ \ln(x) } \longrightarrow 0 $ car la fonction sin est bornée.
Donc la limite de $f$ vaut plus l'infini.

lourrran

Ok.
Après tout, dans ton job, on ne te demande pas de faire des démonstrations, donc il n'y a pas de problème.

gerard0

OShine a dit :

Les fonctions réciproques ce n'est pas niveau terminale. 

Tu n'en sais rien, tu n'as jamais voulu étudier les mathématiques du lycée (pourtant au programme du Capes).

bd2017

Un extrait du programme de math terminale vu sur internet.

mav1

O'Shine tu écris "Les fonctions réciproques ce n'est pas niveau terminale. "
c'est faux ça 

OShine

Je ne pensais pas, j'enseigne au collège je ne connais pas tout ce qui se passe au lycée. 

gai requin

@lourran : Pour tout $x>0$, $\ln x+\sin x\geq\ln x-1$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x+\sin x=+\infty$ par comparaison.
Faux problème !