Récurrence (ou Bézout)

Simeon-urbain

Bonjour
Montrer que, si n ∈ N, il existe un entier impair λn tel que
5^(2^n) = 1 + λn2^(n+2).   (5 puissance( 2 à la puissance n)).    et 2 à la puissance (n+2)
j'espère être clair.   Merci de votre aide.  S_U

Chaurien

Pour deux dollars de plus : $5^{2^n} = 1 + \lambda_n 2^{n+2}$.

En effet, la récurrence est concluante immédiatement : $\lambda_{n+1}=\lambda_n (1+2^{n+1}\lambda_n)$.

Médiat_Suprème

Pa récurrence, il suffit de l'écrire !

Simeon-urbain

Bonjour,
j'ai oublié un 2 ,en fait j'ai corrigé après l'envoi.  
J'ai honte.  mais grand merci de votre indulgence. S_U, 

Chaurien

On peut remarquer que la propriété est vraie pour $n \in \mathbb N^*$ en remplaçant $5$ par n'importe quel nombre impair, avec la même démonstration par récurrence. Il en résulte que pour $n \ge 3$, le groupe des unités de l'anneau $\mathbb Z /2^n \mathbb Z$ n'est pas cyclique.

Chaurien

Correctif. « La propriété est vraie », dis-je, pour tout $a$ impair, mais dans le cas général, l'entier $\lambda_n$ n'est pas nécessairement impair. Si $a$ est impair, $a=2q+1$, $q \in \mathbb N^*$, si $n \in \mathbb N^*$, alors $a^{2^n} = 1 + \lambda_n 2^{n+2}$, et $\lambda_n$ a la parité, et même la $2$-valuation, de $\lambda_1=\frac{q(q+1)}2$.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

L'exercice consiste à remarquer que dans $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$, il y a du "y" aussi bien dans $y^2$ que dans 2xy. La valeur de x étant 1. Il n'y a pas de quoi s'esbaudir des heures non plus.

Simeon-urbain

Bonjour,
merci à tous de vos réflexions
  amicalement.   S_U