Point fixe, analyse numérique

Bethebesteveryday

Bonjour,
on se donne la fonction $g$ définie sur un ouvert de $\R^2$ à valeur dans $\R^2$ telle que :
$$g(x,y)=\big(3/4+1/8(x^2+y^2) ,\ -1/4+1/8(x^2-y^2)\big).$$ 
Je suis bloquée à montrer que $g$ est $L$-contractante sur $D=\{ (x,y) \in \R^2\mid |x|\leq 1 ,\ |y|\leq 1 \}$ pour la norme infinie.
J'ai trouvé que $L=1/8$ mais la suite de la majoration en vain.
Des idées s'il vous plait.
Merci.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]

bd2017

Bonjour  

$||(1,0)-(x,0)||_1=|1-x|$

$||g(1,0)-g(x,0)||_1=1/8|(1-x^2)|=1/8 |1+x| \times ||(1,0)-(x,0)||_1$

Mais  quand $x$ tend vers  $1$ on  a   $1/8 |1+x|$ qui tend vers $1/4.$  Ce qui contredit $L=1/8.$

Il faut expliquer comment tu as fait.

Bethebesteveryday

bd2017
Déjà on travaille avec la norme infinie je ne sais pas est-ce qu'il sera facile d'avoir le résultat avec la norme 1 ..
[Inutile de recopier le dernier message. AD]

bd2017

J'avais lu  la norme 1. Bizarre.  Bref avec la norme  1,  je pense que $L=1/4.$

De toute façon  dans mon exemple cela ne change rien, tu remplaces  la norme 1  par la norme infinie, les valeurs sont inchangées.   

AlainLyon

En passant aux coordonnées polaires on obtient une simplification de $g$.