Point fixe, analyse numérique
Bonjour,
on se donne la fonction $g$ définie sur un ouvert de $\R^2$ à valeur dans $\R^2$ telle que :
$$g(x,y)=\big(3/4+1/8(x^2+y^2) ,\ -1/4+1/8(x^2-y^2)\big).$$
Je suis bloquée à montrer que $g$ est $L$-contractante sur $D=\{ (x,y) \in \R^2\mid |x|\leq 1 ,\ |y|\leq 1 \}$ pour la norme infinie.
J'ai trouvé que $L=1/8$ mais la suite de la majoration en vain.
Des idées s'il vous plait.
Merci.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]
on se donne la fonction $g$ définie sur un ouvert de $\R^2$ à valeur dans $\R^2$ telle que :
$$g(x,y)=\big(3/4+1/8(x^2+y^2) ,\ -1/4+1/8(x^2-y^2)\big).$$
Je suis bloquée à montrer que $g$ est $L$-contractante sur $D=\{ (x,y) \in \R^2\mid |x|\leq 1 ,\ |y|\leq 1 \}$ pour la norme infinie.
J'ai trouvé que $L=1/8$ mais la suite de la majoration en vain.
Des idées s'il vous plait.
Merci.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]
Réponses
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Bonjour$||(1,0)-(x,0)||_1=|1-x|$$||g(1,0)-g(x,0)||_1=1/8|(1-x^2)|=1/8 |1+x| \times ||(1,0)-(x,0)||_1$Mais quand $x$ tend vers $1$ on a $1/8 |1+x|$ qui tend vers $1/4.$ Ce qui contredit $L=1/8.$Il faut expliquer comment tu as fait.
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bd2017
Déjà on travaille avec la norme infinie je ne sais pas est-ce qu'il sera facile d'avoir le résultat avec la norme 1 ..
[Inutile de recopier le dernier message. AD] -
J'avais lu la norme 1. Bizarre. Bref avec la norme 1, je pense que $L=1/4.$De toute façon dans mon exemple cela ne change rien, tu remplaces la norme 1 par la norme infinie, les valeurs sont inchangées.
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En passant aux coordonnées polaires on obtient une simplification de $g$.
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Bonjour!
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