Un dessin comme preuve ?

Lee sin

Extrait du programme prépa MP: "Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve".
J'aimerais bien savoir comment. A ma connaissance, les dessins ne servent que pour mieux comprendre/expliquer un problème, avoir de l'intuition et ne remplacent pas une démonstration mathématique.

JLapin

Ca veut dire par exemple que si un élève explique à un examinateur que le plan privé de trois points est connexe par arc en faisant un dessin, l'examinateur peut très bien décider de ne pas lui en demander davantage.

dSP

Le problème est de s'entendre sur ce que veux dire "dessin pertinent".

Je pense qu'à part des situations hyper-simples où les arcs sont des segments ou des lignes brisées très simples, il est inenvisageable de valider quelque raisonnement que ce soit qui se limiterait à un simple dessin sans formalisation (ne serait-ce que parce qu'il y a très souvent des cas particuliers épineux qui risquent d'être éludés si l'on se contente d'un dessin).

En tout cas, en 10 ans d'enseignement sur ce programme (la remarque était déjà dans le précédent), je n'ai jamais été confronté à un seul cas où un élève se serait contenté d'un dessin pour prétendre justifier une connexité par arcs.

Foys

On est en pleine régression, avec des responsables qui font tout ce qu'ils peuvent pour purger la notion de preuve des programmes. Ca veut dire en gros que pour certains énoncés $P$, afin de prouver $\forall x P$, l'élève aura le droit d'établir $\exists x P$ (un dessin n'est pas capable d'établir autre chose).

Foys

Soient $n\in \N $ et $x_1, ... x_{n+2}$ des points du plan, tels que $\{x_{n+1}, x_{n+2}\} \cap \{x_1,...,x_n\} = \emptyset$. Soit $A$ l'ensemble des angles dans $[0,2\pi[$ entre l'abscisse et une droite passant par deux points distincts de $\{x_1,...,x_{n+2}\}$. Alors $A$ est fini et comme $[0,2\pi[$ est infini, il existe $v,w$ distincts dans $[0,2\pi[ \setminus A$. Soit $D$ (resp $E$) l'unique droite passant par $x_{n+1}$ (resp. $x_{n+2}$) et faisant un angle de $v$ (resp. $w$) avec l'origine. Alors $E$ et $D$ se coupent et ne rencontrent pas $\{x_1,...,x_n\}$. Cela montre que le complémentaire de $\{x_1,...,x_n\}$ est connexe par lignes brisées.

JLapin

Oui, tu sais faire cette preuve et moi aussi et probablement quelques élèves de spéciale.

Je redis aussi que "l'examinateur PEUT décider de ne pas lui en demander davantage".

ev

Voila qui simplifie radicalement les démonstrations du théorème de Jordan.

Foys

@JLapin L'examinateur? Mais même avant que ce décret absurde soit publié, l'examinateur de concours était déjà libre du laxisme qu'il permettait au candidat (et, suivant le talent du candidat et après qu'un certain contexte de confiance fut établi, il n'était pas rare que ce dernier ait droit à des preuves elliptiques). Pour la preuve plus haut, Je sais bien que tu sais que je sais et que tu sais mais il y a d'autres lecteurs sur le site. C'est pour eux que je mets ces gâteries (et tant pis pour les faiseurs de programmes acariâtres qui souhaitent la disparition à jamais de ces notions, au moins de la vue du public. Ils n'ont qu'à s'abstenir de lire).

Exo: (remplacer "espace topologique" par "espace métrique" ou même "partie d'un evn" si ces expressions sont inconnues):

Soit $S$ un ensemble. Une partie $A$ de $S^2$ est appelée "graphe connexe sur $S$" si pour tous $x,y\in A$, il existe $n\in \N$ et $z \in S^n$ tel que $z_1=x$, $z_n=y$ et pour tout $p\in \{1,...,n-1\}$, $(z_p, z_{p+1}) \in A$. Soit $E$ un espace topologique et $(D_i)_{i\in I}$ une famille de parties connexes par arcs de $E$. 

I)Montrer que si $\{(i,j) \in I^2 \mid D_i \cap D_j \neq \emptyset \}$ est un graphe connexe sur $I$, alors $\bigcup_{i \in I} D_i$ est connexe par arcs (pour la topologie induite).

II) Montrer que la même conclusion vaut si on remplace dans I) "connexe par arcs" par "connexe" (pour un espace topologique $F$, $F$ connexe veut dire "toute application continue de $F$ dans $\{0,1\}$ muni de la distance discrète, est constante").

JLapin

Foys a dit :

@JLapin L'examinateur? Mais même avant que ce décret absurde soit publié, l'examinateur de concours était déjà libre du laxisme qu'il permettait au candidat (et, suivant le talent du candidat et après qu'un certain contexte de confiance fut établi, il n'était pas rare que ce dernier ait droit à des preuves elliptiques).

Je suis d'accord avec toi. Je pense en fait que cette petite phrase du programme n'est là que pour valider exactement ce que tu dis, pas pour détruire irrémédiablement la notion même de preuve mathématique.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Moi, si je vois ce dessin pour démontrer que l'anneau $r_1<|z|<r_2$ est connexe par arcs, je suis content. Même si je dois subir les foudres de Foys.

Foys

@tous: je n'ai pas trouvé l'extrait (droit aux dessins "probants") en question dans le programme: https://www.bibmath.net/ressources/mathspe/programme-MP.pdf 

J'ai l'impression que la remarque d' @ev est passée inaperçue. 

@GaBuZoMeu Il y a des chances que la mention de l'application continue $(x, t) \in \R \times ]0,1[ \mapsto \left ( (tr_2 + (1-t)r_1) \cos (x), (tr_2 + (1-t)r_1) \sin (x) \right )$ et des propriétés de son image soit plus courte que le script qui a réalisé ce dessin (qui ne "prouve" le résultat que pour $r_1=2, r_2 = 4$ et $A$ et $B$ spécifiques du reste). Après les gens peuvent vanter les gentils dessins intuitifs avec gloubi boulga plutôt que les méchantes preuves réacs; mais quelle tristesse ensuite de voir ces mêmes faire des grands scandales et partir en croisade parce qu'Idriss Aberkane (ou un autre) a publié un article de shtam. On a les débats publics qu'on mérite.

Vassillia

Bonjour, j'assume totalement préférer la preuve de GaBuZoMeu car cela montre que l'étudiant a compris et qu'il saura le faire comprendre à d'autres. Pour GaBuZoMeu, c'est facile, c'est le spécialiste pour te faire comprendre quelque chose juste en visualisant, c'est justement parce qu'il est compétent sur le fond et qu'il sait travailler la forme pour que le message passe efficacement, tout le monde ne peut pas en dire autant, moi la première.

C'est méconnaitre les shtamers que de croire que le problème vient de là, ils sont souvent les plus grands utilisateurs de latex même si cela ressemble plus à de la calligraphie qu'autre chose vu que justement ils n'arrivent pas à mettre de sens aux symboles qu'ils utilisent.

Quant aux faiseurs de programme, je ne pense pas qu'ils veulent la disparition de quoi que ce soit, je pense surtout qu'ils font ce qu'ils peuvent au vu du contexte.
Maintenant qui est acariâtre ? Je vous laisse seul juge.

GaBuZoMeu

Et pour la connexité par arcs d'un plan privé d'un nombre fini (ou même dénombrable) de points, j'aime bien ça :

https://www.geogebra.org/m/arf2ssfg

nicolas.patrois

Euclide était fort dans les preuves à partir d’exemples génériques ; mais c’était il y a 2300 ans.

AlainLyon

Lee sin a dit :

Extrait du programme prépa MP: "Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve".
J'aimerais bien savoir comment. A ma connaissance, les dessins ne servent que pour mieux comprendre/expliquer un problème, avoir de l'intuition et ne remplacent pas une démonstration mathématique.

On peut vouloir faire n'importe quel  dessin qui va bien avec un commentaire dont l'accentuation est connexe par arc

(encore que je ne sache pas ce que cela veut dire) car

Selon le petit Larousse 2014 (quelqu'un a-t-il une définition du Robert?)

1. pertinent Qui se rapporte exactement à ce dont il est question; approprié
2. pertinent Qui joue un rôle distinctif dans la structure d'une langue :  Un trait phonique pertinent.
   

Cyrano

Moi aussi le dessin de GBZM me conviendrait pour prouver la connexité par arc d'un anneau. La raison est simple : la preuve est ennuyaaaaaaante. Elle n'a rien de compliqué en soi, mais une fois qu'on l'a faite une fois, on sait qu'on sait la faire et on n'a plus envie de se taper des rédactions fastidieuses où on recolle manuellement des paramétrages élémentaires. 

Si on interroge un étudiant, il y a clairement d'autres choses, beaucoup plus conceptuelles, à lui demander.

Soc

GaBuZoMeu a dit :

Et pour la connexité par arcs d'un plan privé d'un nombre fini (ou même dénombrable) de points, j'aime bien ça :

https://www.geogebra.org/m/arf2ssfg

J'aimerais bien le même où plutôt que de déplacer l'arc on diminuerait la taille de la représentation des points !

Foys

La preuve ennuyaaaante avec recollements de paramamétrages, c'est que $f:=(x,y) \mapsto (x*\cos (y), x* \sin (y))$ est continue et que $\{(x,y) \in \R^2 \mid r_1 < x < r_2\}$ est connexe par arcs (donc son image par $f$ va l'être aussi) car convexe. Et puis tant qu'on y est on voit sur un dessin qu'il y a exactement deux composantes connexes dans le complémentaire dans $\R^2$ de l'image d'une fonction continue et injective du cercle unité dans $\R^2$. Sur le long terme ça se paie, ça (ça fait 20 ans que je vois la haine des preuves par les responsables pédagogiques et leur délire se mettre en place). Dans un autre fil les gens se morfondent de ce qu'on n'arrive plus à recruter des profs de maths ou des instits comprenant suffisamment les maths. Mais comment voulez-vous qu'il en soit autrement avec un monde académique dominé par des idéologies pareilles ? Les profs ne poussent pas sur les arbres, ils sont recrutés parmi les gens qui ont appris les maths dans cette même école où l'anti-preuve devient la norme.

Cyrano

@Foys : Les mathématiciens professionnels ne font pas ce genre de preuve. Qui prouve réellement la connexité ou autre propriété topologique élémentaire d'un ensemble "basique" (i.e. qui ne contient pas de pièges mais potentiellement porteur de rédactions fastidieuses) dans un article peer-reviewed ? Personne. A partir d'un certain niveau, tout le monde sait qu'on "sait le faire" si "on en avait envie". 

Or ces chercheurs sont aussi précisément professeurs à l'université. Il n'y a donc aucun étonnement à avoir s'ils finissent par transmettre ce genre de flemme à leurs étudiants. Cette problématique n'est pas du tout liée à un rejet idéologique de la notion de preuve. 

Je donne un exemple de propriété topologique clairement vraie mais que je n'avais pas prouvée à l'époque dans un article (et c'était passé crème auprès des reviewers bien entendu) : Soit $C$ un convexe de $\R^2$, fermé, d'intérieur non-vide et ne contenant pas de droite. Alors il existe $R >0$ tel que tout cercle de rayon $R' > R$ intersectera le bord du convexe en exactement deux points. 

Vassillia

Ne sois pas ronchon Foys (pour ne pas dire acariâtre), j'adore la manière d'expliquer de GaBuZoMeu, pour moi, il est largement au-dessus du lot (désolée pour les autres). C'est le seul que je suis sans trop de difficultés même quand je suis loin de mon domaine de compétences. C'est un des seuls qui m'a donné envie d'apprendre des nouvelles choses alors que je n'en ai pas l'utilité professionnelle. Tu n'imagines pas la plus-value pour les étudiants d'avoir ce genre de professeur, tant mieux si le monde académique est dominé ainsi mais j'ai bien peur que beaucoup soient nettement moins investis dans l'enseignement. L'art est de transmettre, pas paraitre.

raoul.S

Pourquoi choisir entre les deux preuves lorsqu'on peut prendre les deux ? Celle de GaBuZoMeu avec le dessin n'est pas formelle mais elle est intuitive et on voit immédiatement que si on veut la formaliser on peut. Celle de Foys a l'avantage d'être rigoureuse et de montrer astucieusement que l'on peut éviter de formaliser celle avec le dessin car plus pénible.

PS. d'ailleurs écrire au propre celle de GaBuZoMeu pourrait être laissé en exo...

Joaopa

Ben moi je suis d'accord avec GaZuBoMeu, Cyrano et Foys

Le njveau de précision de la preuve dépend du public récepteur et de son utilité.

Entre professionnels, les preuves dessins sont suffisantes (on sait que l'on sait faire)

Mais les étudiants arrivent rarement à formaliser ce qu'ils voient.  Et je pense que savoir formaliser est une compétence que les étudiants doivent savoir maîtriser. Et donc être évaluée.

Vassillia

Oui, c'est une bonne solution, je n'ai rien contre la preuve de Foys tant que celle de GaBuZoMeu est aussi admise et proposée aux étudiants.

nicolas.patrois

Joaopa a dit :

Le njveau de précision de la preuve dépend du public récepteur et de son utilité.

Entre professionnels, les preuves dessins sont suffisantes (on sait que l'on sait faire)

Je suis d’accord avec Joaopa, ce qui est assez rare pour être noté.
J’ajoute qu’on a le même genre de question dans le secondaire où on ne peut pas tout prouver, où certaines choses sont lues sur la figure parce qu’on ne peut pas faire autrement.
Cela dit, ça serait vraiment bien si l’inspection générale pondait une axiomatique adaptée au secondaire, notamment pour la géométrie.

Barjovrille

La preuve de Foys est courte. Je pense qu'avec l'énoncé $\mathbb{R}^3$ privé d'une droite est connexe par arc là on commence à gagner du temps avec un dessin.
Les dessins sont ok, les preuves abstraites sont ok. Pour gagner en confort il faut que l'élève apprenne à faire les deux comme c'est dit dans les messages précédents.

Math Coss

Tu as raison ! Via un repère idoine (dans lequel la droite est l'axe des cotes), $\R^3$ privé d'une droite s'identifie à l'ensemble des $(x,y,z)$ tels que $(x,y)\ne(0,0)$, qui est connexe par arcs parce que $(x,y,z)$ est lié par un segment à $(x,y,0)$ et $(x',y',z')$ est lié par un autre segment à $(x',y',0)$ et là, on peut réutiliser le dessin de @GaBuZoMeu...

JLT

Il n'y a pas que pour la connexité par arcs que les dessins sont parfois suffisants. Par exemple "existe-t-il une fonction continue positive décroissante sur $\R^+$ dont l'intégrale converge, et dont la dérivée ne tend pas vers 0 ?", si on me fait un dessin ça me convainc, tout formaliser serait un peu barbant.

Barjovrille

 @Math Coss tu as raison ! Si la preuve de Foys est courte, la preuve : tracer 2 segment + la preuve de Foys est beaucoup trop longue. Je vais arrêter de partager ma sagesse .

GaBuZoMeu

Si on enlève à $\mathbb R^3$ un nombre dénombrable de droites ne passant ni par $A$ ni par $B$, il y a forcément un plan contenant $A$ et $B$ et ne contenant aucune de ces droites (trop de plans) et on est ramené au plan moins un nombre dénombrable de points. Excusez moi de ne pas écrire explicitement le chemin en arc de cercle qui fait l'affaire.

Héhéhé

Évoquer le théorème de Jordan pour dire qu'un dessin ne suffit pas pour montrer qu'une couronne est connexe par arcs comme l'a fait GaBuZoMeu me parait vraiment être de la mauvaise foi. 

La "preuve" par GaBuZoMeu est totalement acceptable car elle contient l'idée de la preuve : l'arc y est montré. Le dessin permet de s'affranchir d'introduire des notations sans intérêt. Je rappelle qu'une démonstration de mathématiques consiste à convaincre qu'on pourrait formaliser ce qu'on raconte, pas à le formaliser. Que ce soit fait avec des dessins ou avec un texte ne change au fond pas grand chose. Dans ta "preuve" Foys, il y a aussi plein d'arguments qui ne sont pas formalisés. En quoi est-ce plus acceptable quand tu l'écris que quand GaBuZoMeu le dessine ?

Par contre faire un dessin pour dire que le théorème de Jordan c'est juste agiter les mains, il n'y a pas d'idée de preuve. C'est de l'arnaque, autant qu'écrire "c'est évident". Ce n'est donc pas recevable. 

Foys

Cyrano a dit :

@Foys : Les mathématiciens professionnels ne font pas ce genre de preuve. Qui prouve réellement la connexité ou autre propriété topologique élémentaire d'un ensemble "basique" (i.e. qui ne contient pas de pièges mais potentiellement porteur de rédactions fastidieuses) dans un article peer-reviewed ? Personne. A partir d'un certain niveau, tout le monde sait qu'on "sait le faire" si "on en avait envie".

On ne parle pas de mathématiciens mais d'élèves de MP. Des gens qui un an auparavant dans leur scolarité pour la plupart ne peuvent pas additionner des fractions et pensent que $\frac {x+1}{x+2} = \frac 1 2$ (malgré plus de mille heures de maths à l'école et au lycée avant). Oui, moi aussi quand j'envoie des messages écrits sur téléphone portable à mes amis, j'écris en sms et on ne se fait pas des procès en orthographe pour autant. Devant des élèves c'est non. On n'apprend pas à raisonner à quelqu'un quand on lui dit qu'un exemple prouve un énoncé général (c'est ce que font absolument tous les exemples du fil sauf celui proposé par @JLT). Il paraît que parmi les objectifs des profs de maths se trouverait celui de former un "bon citoyen qui sait raisonner". L'inférence $\exists x F \Rightarrow \forall x F$ est fautive quand même!!! Un élève qui marquerait dans sa copie (pour prouver que pour tous $r_1 < r_2$, l'anneau entre $r_1$ et $r_2$ est connexe mettons) "je prends $r_1=2$ et $r_2=4$, puis soient $A$ et $B$ comme ça" se ferait dégommer ! Le dessin plus haut n'est pas plus général que ça.

Héhéhé a dit :
La "preuve" par GaBuZoMeu est totalement acceptable car elle contient l'idée de la preuve : l'arc y est montré. Le dessin permet de s'affranchir d'introduire des notations sans intérêt. Je rappelle qu'une démonstration de mathématiques consiste à convaincre qu'on pourrait formaliser ce qu'on raconte, pas à le formaliser. Que ce soit fait avec des dessins ou avec un texte ne change au fond pas grand chose. Dans ta "preuve" Foys, il y a aussi plein d'arguments qui ne sont pas formalisés.

"On pourrait": un mathématicien oui, Un élève non. Il faut apprendre à formaliser avant de pouvoir se convaincre qu'on pourrait le faire. Ensuite qu'est ce qui n'est pas assez formalisé dans ma preuve ?

Cyrano

Je suis d'accord. Il faut l'avoir fait au moins une fois dans sa vie quand on est étudiant. 
Mais ça ne mérite pas, selon moi, d'être une question d'examen. 

GaBuZoMeu

Je n'avais pas trop envie de polémiquer, mais puisque Foys se fait lourd, allons-y. 

"Soient $n\in \N $ et $x_1, \dots,x_{n+2}$ des points du plan, tels que $\{x_{n+1}, x_{n+2}\} \cap \{x_1,\dots,x_n\} = \emptyset$. Soit $A$ l'ensemble des angles dans $[0,2\pi[$ entre l'abscisse et une droite passant par deux points distincts de $\{x_1,\dots,x_{n+2}\}$." 

Les angles de droites ne se mesurent pas modulo $2\pi$.

"Alors $A$ est fini et comme $[0,2\pi[$ est infini, il existe $v,w$ distincts dans $[0,2\pi[ \setminus A$. Soit $D$ (resp $E$) l'unique droite passant par $x_{n+1}$ (resp. $x_{n+2}$) et faisant un angle de $v$ (resp. $w$) avec l'origine. Alors $E$ et $D$ se coupent"

Pas forcément, si $v=\pi/4$ et $w=5\pi/4$.

" et ne rencontrent pas $\{x_1,\dots,x_n\}$. Cela montre que le complémentaire de $\{x_1,\,xdots_n\}$ est connexe par lignes brisées"

Où est l'application continue $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^2\setminus\{x_1,\ldots,x_n\}$ telle que $\gamma(0)=x_{n+1}$ et $\gamma(1)=x_{n+2}$ ?

Mon dessin montre à qui n'a pas des oeillères que le cercle de centre l'origine passant par $A$ est contenu dans l'anneau et rencontre l'intervalle de la demi-droite d'extrémité l'origine passant pas $B$ découpé par l'anneau. Cela montre que l'anneau est connexe par arcs.

Foys

Ah très bonne remarque: il faut prendre les angles dans $[0, \pi[$ (et pour les refus de mesures d'angles à la Jean Dieudonné: personne ne fait des corps réels clos différents de $\R$ à ce niveau et de toute façon on parle de propriétés topologiques de $\R^2$). Pour l'application, avec mes notations, soit $p\in D \cap E$, on prend $f(t):= (1-2t) x_{n+1} + 2t p$ si $t\leq \frac 1 2$ et $f(t):= (2-2t)p + (2t-1) x_{n+2}$ si $t > \frac 1 2$.

GaBuZoMeu

Foys a dit :

personne ne fait des corps réels clos différents de $\R$ à ce niveau

Rassure-toi, même sur un corps réel clos différent de $\R$, le plan privé d'un nombre fini de points est semi-algébriquement connexe par arcs (c'est d'ailleurs le cas pour un espace affine privé d'un sous ensemble semi-algébrique de codimension supérieure ou égale à 2).