Avec le point de Nagel

Jean-Louis Ayme

Bonjour, 

1. ABC                   un triangle tel que AB < AC

2. I, Na                   le incentre, le point de Nagel

3.Y                          le projeté de Na sur (AI).

Question :             YNa = (AC - AB).sin <A/2.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour
En barycentriques:

% Jean-Louis Ayme - 14 Octobre 2023 - Avec le point de Nagel

I=[a; b; c]; % Centre du cercle inscrit
Na=[b-a+c; a-b+c; a+b-c]; % Point de Nagel
AI=[0, -c, b];
Y=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(Na,AI,a,b,c));
% On trouve:
% Y=[-(b^2+c^2)*a -(b+c)*(b^2-4*b*c+c^2); b*((b+c)*a + (b-c)^2); c*((b+c)*a + (b-c)^2)]
YNa2=Factor(Distance2(Y,Na,a,b,c)); % YNa^2
% On trouve:
% YNa2=(b-c)^2*(a+b-c)*(a-b+c)/(4*b*c)
R1=(a+b-c)*(a-b+c)/(4*b*c); % R1=YNa^2/(AC-AB)^2

% sin^2(A/2)=(1-cos(A))/2 et a^2-b^2-2*b*c*cos(A) donc:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
R2=Factor((1-cosA)/2); % R2=(a+b-c)*(a-b+c)/(4*b*c)

Nul=Factor(R1-R2) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol