Calcul de $\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n 2^{\min(i, j)} 3^{\max(i, j)} $

math65

Bonjour,

Je cherche à trouver cette somme.
J'ai eu l'idée de séparer en 3 sommes, une où $i=j$, une où $i<j$ et une où $i>j$.(ces deux dernières sont égales, je pense)
Est ce que je suis sur la bonne voie.
Merci.

nicolas.patrois

>>> for i in range(5):
...   for j in range(5):
...     print((min(i,j),max(i,j)),end=" ")
...   print()
... 
(0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) 
(0, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 
(0, 2) (1, 2) (2, 2) (2, 3) (2, 4) 
(0, 3) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (3, 4) 
(0, 4) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)

Ça peut te donner une idée ?

Philippe Malot

Tu es sur la bonne voie, mais tu peux te limiter à un découpage en deux sommes : l'une où $i\leqslant j$ et l'autre où $i>j$.

rebellin

Comme le suggère @nicolas.patrois, examiner la situation pour une petite valeur de $n$ permet de se faire une bonne idée et de guider le calcul dans le cas général.

Pour information, j'obtiens la formule générale $6^n-3^n-2\frac{6^n-1}{5}.$

math65

OK, voilà comment j'ai fait :

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}2^{\min(i,j)}3^{\max(i,j)}=\sum_{i=0}^{n} \Big(\sum_{j=0}^{i} 2^{j}3^{i}+\sum_{j=i+1}^{n}2^{i}3^{j} \Big)$

En utilisant plusieurs étapes de calcul et notamment la formule sur les sommes de termes de suite géométrique, j'ai trouvé comme résultat :

$\dfrac{3}{5} 6^{n+1} -3^{n+1} +\dfrac{2}{5} $

math65

@rebellin
on trouve la même chose sauf que j'ai $n+1$ à la place de $n$. Personnellement , après des essais, je pense que j'ai bon. mais si quelqu'un peux confirmer.

Merci.
PS : le site doit avoir un problème avec javascript car lorsqu'on tape dans le champs texte, cela met un temps fou à réagir.

gerard0

Bonjour.
Une vérification pour de petites valeurs de n confirme ton résultat, et aussi que la formule de Rebellin avec n remplacé par n+1 donne le même résultat.
Cordialement.
NB. J'ai aussi des soucis de frappe, probablement liés à l'usage de Firefox. Comme je ne veux pas changer de butineur, je patiente.