Triangle dans un carré

Simeon-urbain

Bonjour,
comment montrer que dans un carré le triangle formé d'un côté du carré et le sommet milieu du coté opposé, est le plus grand [triangle] inscrit dans le carré ?
Merci de vos aides. S_U
["Plus grand" pour quelle relation d'ordre ? AD]

pappus

Bonjour à tous

Un énoncé qui ne veut rien dire en français donc aussi en mathématiques!

Amicalement

pappus

pappus

Merci AD pour avoir déchiffré son texte.

Amitiés

pappus

2nis

Je suppose que "plus grand" veut dire "ayant une surface supérieure".

On ne peut pas le montrer parce que c'est faux. Tous les triangles composés d'un côté d'un carré et un point quelconque du côté opposé ont tous pour surface exactement la moitié de la surface du carré : pour s'en convaincre, il suffit de diviser le triangle en deux triangles rectangle. On a : a = a' et b = b'

Tonm

Salut, si on veut, on peut considérer deux points du triangle chacun sur un de deux cotés opposés (disons horizontaux), puis glisser le troisième point  sur un coté verticale. On prouve que l'aire maximal est atteint quand ce point est sur un des sommets etc. Puis prendre la plus grande base possible de ce triangle candidat qui est alors le coté en entier.
Cordialement.

YvesM

Bonjour,
La proposition est fausse : le triangle en question (dont un côté est un côté du carré)  n’est pas nécessairement le triangle de plus grande aire. 

Simeon-urbain

Bonjour,
merci à tous pour vos précieuses indications, de plus mon texte et ma solution sont mauvais, mille excuses
 Voici le véritable énoncé que j'ai retrouvé : je vous en fait part.

1. Quelle est l’aire maximale d’un triangle dont les sommets sont dans un carré donné ?

merci de m'aider. S_U

Tonm

Bon je n'ai fait que prendre des figures sur Geogebra, ça semble vrai. Le triangle d'aire maximale inclus dans un carré a un de ces côté un côté du carré et le troisième sommet sur le côté opposé.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Les triangles qui entrent en compétition pour la plus grande aire sont forcément des triangles dont les sommets sont sur les côtés du carré.

Fixons un des côtés du triangle, avec deux sommets sur les côtés. Parmi les triangles d'aire maximale avec ce côté fixé, il y a un triangle dont le sommet opposé au côté fixé est un sommet du carré (qui maximise la hauteur). On recommence et on trouve que parmi les triangles d'aire maximale il y en a un dont les sommets sont trois des sommets du carré.

Soc

Pour préciser ce que dit Gabuzomeu:

* Pour un triangle dont un des 3 sommets n'est pas sur les côté, on peut alors agrandir une base en conservant la même hauteur, et ainsi obtenir une aire plus grande. Les 3 sommets doivent donc être sur les côtés.

Pour la suite il faut faire un peu plus d'étude de cas:
* Si les 3 sommets sont sur 3 côtés différents, un des 3 côtés du triangle n'est pas parallèle aux côtés du carré. On le prend comme base et dans ce cas on peut faire varier la hauteur en déplaçant le 3eme sommet du triangle, et la maximiser en le plaçant sur un sommet du carré.
* S'ils sont encore sur 3 côtés différents, on recommence avec un autre sommet. On se retrouve alors dans le cas décrit par Gabuzomeu.
Pour finir, l'aire maximale est donc la moitié de celle du carré, et les triangles réalisant ce maximum sont tous ceux ayant comme base un côté du carré et dont le 3ème sommet est sur le côté opposé.

GaBuZoMeu

Non, pas besoin de faire plus d'étude de cas. Que le côté du triangle fixé soit ou non parallèle à un des côtés du carré, on maximise bien l'aire du triangle avec le sommet du triangle opposé au côté fixé situé en un des sommets du carré.

Donc le maximum de l'aire est réalisé par un triangle dont les sommets sont trois des sommets du carré.

Simeon-urbain

Bonjour,
merci de vos réponses qui me rassurent quant à mon intuition (pardon pour ma  vantardise!), heureusement que vous êtes présents pour apporter la preuves.  Encore merci.
Bon w-e. amicalement. S_U