La suite $\sin(1+n^2)$

Monaim

Bonjour,
SVP, comment peut-on montrer que la suite $\sin(1+n^2)$ n'est pas convergente?

Matricule_63

Cherche le nombre de valeurs d'adhérence.

JLT

Soit $x_n=n^2+1$. Supposons que $(\sin x_n)$ converge, alors il existe une suite $(\epsilon_n)$ à valeurs dans $\{-1,1\}$ telle que $\epsilon_n x_n$ converge modulo $\pi$ vers une limite $\theta$. Comme $x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n=2$, on peut en déduire certaines choses puis arriver à une contradiction.

Lol_a

On doit pouvoir exhiber deux suites extraites qui convergent vers deux limites différentes.

JLT

J'ai l'impression que Matricule_63 et Lol_a sous-estiment la difficulté de l'exercice, à moins qu'il y ait des arguments simples qui m'échappent.

Matricule_63

ça me paraissait une bonne idée à première [vue]. Après coup j'ai essayé de le faire et effectivement pas sûr que mon indication soit très utile.

Namiswan

On pose $u_n=\sin(n^2+1)$ et $v_n=\cos(n^2+1)$. Si l'une des deux suites a un nombre fini de valeurs d'adhérence, alors l'autre aussi puisque $u_n^2+v_n^2=1$, et donc également $w_n=u_{n+1}v_n-u_n v_{n+1}=\sin(2n)$. Or il est classique que cette dernière suite est dense dans $[-1,1]$ dû à l'irrationalité de $\pi$.

Poirot

Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi le fait que $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ aient un nombre fini de valeurs d'adhérence implique qu'il en est de même pour $(w_n)_n$.

Lirone93

La plus bourrine, je pense : avec deux suites extraites bien choisies pour qu'elles convergent vers deux nombres forcément différents.

JLT

Ah oui bien joué Namiswan.
Poirot: si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites bornées, alors toute valeur d'adhérence de $(a_n+b_n)$ est la somme d'une valeur d'adhérence de $(a_n)$ et d'une valeur d'adhérence de $(b_n)$. Même principe pour le produit. En effet quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que $(a_n+b_n)$ est convergente, puis que $(a_n)$ est convergente.

jandri

La démonstration de @Namiswan  peut se généraliser au cas d'une suite $u_n=\sin P(n)$ où $P$ est un polynôme à coefficients réels de degré $d\geq1$ dont le coefficient dominant n'est pas dans $\pi\Q$ : on montre par récurrence sur $d$ qu'une telle suite possède une infinité de valeurs d'adhérence.

Dans le cas $d=1$ pour $P(n)=an+b$ avec $a\notin\pi\Q$ on utilise le fait que $G=a\Z+2\pi\Z$ est dense dans $\R$, d'où l'on déduit que $a\N+2\pi\Z$ l'est aussi puis que $u_n=\sin (an+2k\pi+b)$ est dense dans $[0,1]$.

On suppose la propriété vraie pour $d-1$. Soit $P=a_dX^d+\dots\in\R[X]$ avec $a_d\notin\pi\Q$ tel que la suite $u_n=\sin P(n)$ possède un nombre fini de valeurs d'adhérence : $\lambda_1,\dots,\lambda_p$.

Puisque $|v_n|=\sqrt {1-u_n^2}$ la suite $v_n=\cos P(n)$ a également un nombre fini de valeurs d'adhérence :$\mu_1,\dots,\mu_q$.

Il en est de même de la suite $w_n=u_{n+1}v_n-u_nv_{n+1}$ dont les valeurs d'adhérence sont parmi les $\lambda_i\mu_j-\lambda_j\mu_i$.

Mais $w_n=\sin Q(n)$ avec $Q(n)=P(n+1)-P(n)=da_dX^{d-1}+\dots$ vérifie les hypothèses du rang $d-1$ d'où une contradiction.