Inclusion

Tyoussef

Bonjour ou bonsoir ( voir l'heure ).

Dans la topologie, lorsqu’on a  $ A \subset  B $.

Peut -on dire :
$$ A   \subset \overline{A}  \subset  B \subset \overline{B}   $$ alors  on a   :  $$ \overline{A} \subset \overline{B} $$
Merci d'avance.

gerard0

Bonjour.

Qui que soient $\bar A$ et $\bar B$, si $A   \subset \overline{A}  \subset  B \subset \overline{B}$, alors, par transitivité de l'inclusion, $ \overline{A}  \subset \overline{B}$

Par contre, de $A \subset B$ on ne peut en déduire $A   \subset \overline{A}  \subset  B \subset \overline{B}$. Contre exemple : prendre, avec la topologie habituelle de $\mathbb R$, pour $A$ l'ensemble des décimaux et pour $B$ l'ensemble des rationnels.

Cordialement.

Soc

ou encore A=]0;1[ et B= [0;1[.

JLapin

@Tyoussef

Tu peux démontrer directement l'inclusion des adhérences à partir de $A\subset B$.
Reviens simplement aux définitions.

jean-éric

Bonsoir, La piste est là  : $\overline{B}$ est le plus petit fermé contenant l'ensemble $B$, donc, $ B\subset \overline{B}$. J'ai fait le premier pas, il te reste à faire le second !

Jean-éric

Tyoussef

Bonjour ou bonsoir tous le monde, et merci. ( voir l'heure )
Ah, OUI ;  je viens de voir mon erreur.
@ jean-éric
$\overline{B} $ est le plus petit fermé contenant $B$, donc  $ B \subset \overline{B}$.
Sachant que : $ A \subset B$, d’où  $ A \subset \overline{B}$, et $\overline{B}$ est un fermé.
Or, $\overline{A}$ est le plus petit fermé contant $ A $.
Donc : $$  \overline{A} \subset \overline{B} $$ C'est ça non.

JLapin

Oui, c'est très bien.

Si tu veux t'entraîner, tu peux essayer de justifier à nouveau cette inclusion en utilisant des suites.

Tyoussef

Merci JLapin.
Pour les suites j'ai une petite idée...
Avez-vous un livre d'exercices de topologie (titre s'il vous plaît).

Et un grand merci à tous.