Division par 0

zeste

Bonjour à tous,
À la question : 
« Mais Monsieur, pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?   »
que répondriez-vous ?
(Je ne précise pas le niveau de l'élève à dessein.)

Soc

On revient sur la "définition". "Dans 7 tu peux mettre combien de fois 0?" ou encore "Comment tu partages 7 en 0 parts égales?"

Math Coss

Si on pouvait, le résultat multiplié par zéro donnerait le nombre de départ, alors que tout produit par zéro vaut zéro.

zeste

Math Coss
« Mais alors pourquoi ne peut-on pas diviser 0 par 0 ? Lorsque je multiplie 0 à 0 j'obtiens bien le nombre de départ qui est 0 »
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Soc

* "Dans 7 combien de fois 0?" correspond à chercher ? dans "7 = ? * 0 "
* "Comment partager 7 en 0 parts égales?" correspond à chercher ? dans "7 = 0 * ?"

Dans les deux cas on veut que le résultats soit 7 et non 0.

Soc

Ps: Si ta question initiale porte sur le cas particulier de "0 divisé par 0", le problème vient alors de l'infinité de réponses différentes possibles.

Rescassol

Bonjour,

Ne pas confondre "b divise a" et "on peut diviser a par b".

Cordialement,
Rescassol

Thierry Poma

@zeste : bonjour. Pourquoi $0$ ne serait-il pas divisible par $0$ ?

Soc

@Thierry Poma Quand la rigueur devient l'ennemie de la compréhension, il faut savoir la mettre sous le tapis.

Georges Abitbol

Je répondrais : "mais où as-tu vu qu'en maths, les questions qui commencent par <<pourquoi >> ont des réponses ?".

Médiat_Suprème

Sans connaître le niveau de l'élève, je répondrais, comme Jesper Carlström : mais on peut !

nicolas.patrois

Quand ça arrive, je commence par dessiner la potence, puis je lance l’algorithme.

Lirone93

Par l'axiome $x*0=0*x=0,\forall x \in E$ : 
Si pour un $y \in E$, on a $y*0=\text{ une expression }$, il n'y a aucune utilité logique à considérer dans une démonstration $\frac{\text{expression}}{0}$ car cette « écriture » signifie juste « considère moi comme pouvant être n'importe quel nombre dans $E$ que ton imagination le permet ».
Donc comme Médiat (peut-être pour d'autres raisons, on verra), j'aurais aussi dit « mais on peut », en rajoutant le plus important : « mais ça ne sert à rien », allé je prends même le risque de nuancer ça, en rajoutant : « jusqu'à aujourd'hui » ou « la plupart du temps ». Et j'ose dire que même dès les premières classes, on est pas obligé d'insister autant sur le « c'est interdit ! ».
 
C'est en effet une belle question autour de l'apprentissage, notamment celui des mathématiques.

Soc

Ca me conforte dans l'idée qu'il ne faut pas confier l'enseignement des maths aux matheux avant... disons la fin du secondaire.

Médiat_Suprème

Pour d'autres raisons parfaitement mathématiques.

Lirone93

Oui ça c'est indiscutable, vous auriez une rèférence s'il s'agit de quelque chose de précis pour voir à quoi vous faîtes éventuellement allusion ?

Georges Abitbol

@Soc : A mon avis, il ne faut pas confier l'enseignement du simulacre de maths enseigné dans le secondaire aux matheuses et aux matheux.

Soc

Je crois que tu es en train de changer de sujet.

Médiat_Suprème

@Lirone93 : j'ai donné la référence dans mon premier message, pour être plus précis, il s'agit de la roue (et non de l'anneau) des fractions des entiers

Foys

Il ne faut pas confondre "diviser $8$ par $0$" (activité consistant à trouver un nombre tel que le résultat de la multiplication de ce nombre par $0$ donne $8$) et écrire "$8 / 0$" sur le papier (ou dans un traitement de texte. Ca c'est est très facile; la preuve: je viens de le faire). "$a / b$" est in fine une abréviation de $\bigcup \{x \in \R \mid x \times b = a\}$, où, pour tout ensemble $E$, $\bigcup E$ est une abréviation de $\{y \mid \exists z, z \in E \wedge y \in z\}$ ("réunion de $E$") avec $\times$ qui désigne la mutiplication des réels. On a un théorème qui garantit que pour tous réels $p,q$ tels que $q \neq 0$, $\{x \in \R \mid x \times q = p\}$ est un singleton et dans ce cas, l'unique élément $r$ de ce singleton satisfait $r \times q = p$ et la réunion $p/q$ de l'ensemble précédent est alors égale à $r$. Lorsque $q = 0$ et $p \neq 0$ (resp. $p=0$), $\{x \in \R \mid x \times q = p\}$ est vide (resp égal à $\R$) et sa réunion l'est aussi. On a le théorème suivant, qui permet de faire le lien avec la pratique courante: pour tous $a,b$ réels tels que $b\neq 0$, $(a/b) \times b = a$. Ce résultat entraîne assez rapidement tous ceux dont les lecteurs ont l'habitude et (puisque c'est dans ses hypothèses), exige pour son emploi la vérification systématique de ce que les nombres qu'on substitue à $b$ sont non nuls conformément à l'usage le plus répandu. Nous laissons le soin au lecteur de décider si l'assimilation de $a/b$ à une "fraction" est souhaitable (il y a un autre fil à l'ambiance animée où cette poblématique est abordée mais on sort un peu du sujet je pense).

JLapin

zeste a dit :

Bonjour à tous,
À la question : 
« Mais Monsieur, pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?   »
que répondriez-vous ?
(Je ne précise pas le niveau de l'élève à dessein.)

Je répondrais

"Parce que la fraction a/b, ie l'unique nombre x tel que a= b*x n'est bien défini (existence et unicité) que si b est non nul.

Si b est nul, l'équation a=b*x a soit 0 soit une infinité de solutions. Dans le premier cas, il n'y a évidemment pas de valeur raisonnable à attribuer pour définir le nombre a/b. Dans le second cas, la communauté des mathématiciens a fait le choix de ne pas privilégier une valeur particulière parmi l'infinité de solution. Il est indispensable de respecter le choix de la communauté des mathématiciens afin de se faire comprendre et encore plus de respecter le choix de la personne qui met une note sur une copie évaluée."

Matricule_63

On peut tout à fait "diviser par zéro". Bon par contre, cela implique que l'espace dans lequel on travaille est un singleton, ce qui n'est guère passionnant.

En effet, soit $(A, +,\times)$ un anneau où  $e_\times \in A$ est neutre pour la multiplication et $e_+ \in A$ neutre pour l'addition et absorbant pour la multiplication. Si $\exists x \in A, x\times e_+ = e_{\times}$, alors $e_{\times} = e_+$ d'où $\forall y \in A, y = y \times e_{\times} = y \times e_+ = e_+ $. Donc $A=\{e_+\}$.

Avec les 6e, la discussion est en général.
" Pourquoi on ne peut pas diviser par 0 ?
- ça veut dire quoi, diviser par 0 ?
- Bah, on ne coupe pas le gâteau.
- Mais si tu fais ça, en fait tu coupes le gâteau en une part, et tu prends cette part. Tu as donc divisé par 1.
- ...
- Moi je veux bien diviser par 0, il faut juste que tu m'expliques ce que ça veut dire.
- ..."

On ne peut pas le définir = ça n'existe pas.

Médiat_Suprème

@Matricule_63 : c'est faux, cf. les travaux de Jesper Carlström dont je parle pour la troisième fois !

NicoLeProf

Bonjour,

je fais la démonstration en 4ème à l'oral un peu comme Math Coss pour initier les élèves au raisonnement par l'absurde.

J'utilise la définition du quotient de $a$ par $b$ comme étant le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. Définition au programme du cycle 4 du collège (donnée pour $b$ non nul).

Ensuite, après avoir manipulé et compris cette définition, on regarde le cas : $b=0$ et $a \neq 0$ (quitte à prendre une valeur plus explicite pour $a$), on raisonne par l'absurde en utilisant la définition que j'ai donnée juste au-dessus. 

On reste à un niveau collège bien entendu... 

Matricule_63

@Médiat_Suprème Du coup, quel serait l'erreur dans mon raisonnement?
(et balancer un nom inconnu n'est peut-être pas la meilleurs manière de faire passer une info, donc au lieu de râler "je l'ai déjà dis tu as faux", peut-être donner des liens, une démonstration... Non?)

Lol_a

Assez d'accord avec @JLapin.
Quand ça m'est arrivé j'avais répondu comme @Soc en donnant d'autres exemples avant du type $6 = ? \times 2$ car la définition de $\frac{a}{b}$ n'est pas toujours bien comprises par les élèves. La plupart sont perplexes quand on leur demande pour quelle valeur de $?$ on a  $7 = ? \times 5$ , certains répondent "mais on ne peut pas ! ". C'est l'occasion de retravailler cette définition.

Ce que j'aimerais répondre c'est "parce que la fonction nulle n'est pas injective" car ce qui revient beaucoup dans la résolution d'équations (resp. d'inéquations), en tout cas dans le secondaire, c'est d'appliquer la fonction réciproque de chaque côté de l'égalité (resp. inégalités, en s'assurant que cette fonction est strictement monotone sur l'intervalle considéré) mais cette réponses ne peut évidemment pas être bien comprise des collégiens et même par certains lycéens. 

Médiat_Suprème

@Matricule_63 :
1ère ligne : cela implique que l'espace dans lequel on travaille est un singleton
2ième ligne : En effet, soit (A,+,×) un anneau

Par contre, je ne vois pas la démonstration que l'espace de la 1ère ligne est forcément un anneau.

Quant à Jesper Carlström, il n'est pas inconnu de tous, en particulier à l'université de Stockholm

Matricule_63

Effectivement, j'aurais du dire "Un anneaux dans lequel la division par 0 existe est réduit à un singleton". Après, j'ai du mal à définir une division par 0 qui ressemble à l'intuition sans anneau, sauf si dans $E$ tu défini $\times : \mathbb{N}\times E \rightarrow E\ ; \ (n, x) \mapsto  \sum_{i=0}^n {x}$.

Et donc désolé d'être ignare, je penserais à demander la prochaine fois que je passe à l'université de Stockholm. (faut que j'y pense en allant acheter le pain)

Médiat_Suprème

Le plus simple serait de lire le texte de Jesper Carlström, qui se trouve facilement sur le net et à la BU de Stockholm

Matricule_63

Je suis tombé sur un footballeur, j'imagine que ce n'est pas le même. Après j'ai trouvé le papier, qui est en anglais et en accès restreint.
Bref, je réitère : tu ne peux pas t'agacer qu'on ignore ta contribution si elle se résume à balancer un nom, et visiblement tu ne vois pas l'absurdité de dire "suffit de passer à la BU de Stockholm". Donc si tu as des éléments concrets à partager, c'est avec plaisir, mais si tu te refuse à le faire, permet moi d'ignorer ton Jesper et ta personne par la même occasion. Je suis là pour parler de math, pas pour jouer à la chasse au trésor ou planifier un voyage en Suède.

Médiat_Suprème

L'article, en anglais (je n'imaginais pas que cela fut un problème), est en accès libre à la BU de Stockholm (pas si absurde que cela finalement) : 2001-11.dvi (su.se) (première réponse dans ma recherche !)

L'intérêt pédagogique de la réponse de Jesper Carlström me paraît évident (pas au lycée, ni avant, bien sûr)

Quant au footballeur, ce n'est même pas la même orthographe !

Lirone93

Bonjour
je n'avais pas trouvé non plus Médiat (je ne l'ai pas dit de peur de froisser), et pourtant je ne suis pas trop nul dans ce domaine d'habitude et j'avais essayé plusieurs trucs.

Ton moteur de recherche (google ?) s'adapte peut-être à ton profil de recherche suivant tes anciennes [questions] mais je pense aussi que tu as pu mettre d'autres mots-clé.
Moi, j'ai essayé avec juste le nom et " mathématics work" et je tombais aussi sur le footballeur en premier lien.

Foys

On peut toujours prolonger des fonctions (en rajoutant un terme d'erreur au système considéré); c'est le message des "roues" de Jesper Carlström. Soit $M$ un ensemble et $(d_i)_{i \in I}$ une famille de nombres entiers. Soit $(\varphi_i)_{i \in I}$ une famille telle que pour tout $k\in I$, $\varphi_k$ est une fonction partielle de $M^{d_k}$ dans $M$ (cela veut dire qu'il existe une partie $dom(\varphi_k)$ de $M^{d_k}$ telle que $\varphi_k$ est une fonction de $dom(\varphi_k)$ dans $M$). Considérons un $\varepsilon$ qui n'est pas dans $M$ (il existe toujours un tel objet, par exemple l'ensemble $\{u \in M \mid u \notin u\}$). Alors on prolonge les fonctions $(\varphi_i)_{i \in I}$ comme suit: pour tout $j\in I$ et tout $x \in (M\cup \{\varepsilon\})^{d_j}$, on pose $\tilde \varphi_j (x):= \varepsilon$ lorsqu'il existe $p\in \{1,...,d_k\}$ tel que $x_p = \varepsilon$, ou bien lorsque $x \notin \varphi_k$. Sinon, on pose $\tilde \varphi_k (x):= \varphi_k (x)$. Une roue de Carlström est l'application de ce qui précède lorsque $M = A \cup \{\infty\}$, avec $A$ un anneau intègre, et ou on prend pour application de prolongements "naturels" partiels des opérations usuelles de l'anneau ($\bot$ va être le terme d'erreur; consulter les tableaux qui résument les opérations à la fin de l'article).

Matricule_63

@Médiat_Suprème Merci pour le lien.
Pour information, les résultats de recherche google sont personnalisés.
Si je tape "Jesper Carlström", j'ai :
1 - Wikipédia sur le footballeur
2 - Instagram du footballeur
3 - Tous ses travaux en accès restreint sur Research Gate
4 - Le forum futura-science qui parle de lui
5 - Un résultat de recherche linkedin sur "Jesper Carlström"
6 - Sa page wikipédia
7 - Un site russe
8&9 - Résultats facebook
10 - Son arbre généalogique
11 - Sa page perso
12&13 - Je ne sais pas ce que c'est
14 - Le lien que tu as posté, que je n'aurais pas reconnu s'il n'avait pas la couleur "tu as déjà cliqué dessus".

Quand à l'anglais, il ne me semble pas que sa maîtrise soit un prérequis pour fréquenter ce forum... Perso je me débrouille, mais ça me demande pas mal d'effort donc oui j'évite souvent les contenus en anglais.

Edit : et je me fais la réflexion en le lisant, en plus de savoir lire l'anglais, il faut aussi en maîtriser le vocabulaire mathématique, donc une niche qui n'est pas enseignée dans le secondaire et que je n'ai jamais vu dans le supérieur. C'est tout à fait possible de se former tout seul, bien sûr, mais cette maîtrise est loin d'être une évidence chez une personne prise au hasard.

Médiat_Suprème

@Lirone93 : Le footballeur n'a pas la même orthographe, il suffit de forcer une recherche exacte dans son moteur de recherche pour éliminer toutes références à celui-ci.

On le trouve sur wikipedia : Wheel theory - Wikipedia et même en français : Division par zéro — Wikipédia (wikipedia.org)

Il semble que @Foys ait trouvé

Médiat_Suprème

@Matricule_63 : le lien 4 que vous citez est un document en français sur le sujet !

Lirone93

Ok je l'ai aussi c'est bon. Merci.

zeste

Bonjour,
pour en revenir au schmilblick.

Théorème : Pour tout $(a,b) \in \R \times \R \setminus \lbrace{0}\rbrace$, il existe un unique réel  $q$ tel que $b \times q=a$, on l'appelle quotient de $a$ par $b$, on le note $\frac{a}{b}$.

On peut maintenant définir l'opération de division sur $\R \times \R\setminus \lbrace{0}\rbrace $ :
$$\begin{array}[t]{lrcl}
\div : & (a,b) \in \R \times \R \setminus \lbrace{0}\rbrace & \longrightarrow & \R \\
& (a,b) & \longmapsto & a \div b =\frac{a}{b} \end{array}$$
La question de cet élève est donc en fait :  Pourquoi ne peut-on pas étendre l'opération de division à $\R \times \R$ ?

Soient $a$ et $b$ des réels, notons $S_{(a,b)}$ l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue $x$ réelle $ b \times x=a$

• Si $b\neq 0$ alors par le théorème $S_{(a,b)}$  est le singleton du quotient de $a$ par $b$.
• Si $b=0$ alors distinguons deux cas :  si $a\neq 0$ alors $S_{(a,b)}=\emptyset$ ; si $a=0$ alors $S_{(a,b)}=\R$.

Je ne sais pas si c'est vraiment convainquant. On pourrait imaginer poser :
$$\begin{array}[t]{lrcl}
\tilde{\div} : & \R \times \R & \longrightarrow & \R \\ 
        & (a,b) & \longmapsto &  a \tilde{\div} b = \left\{   
\begin{array}{ll} 
a\div b & \mbox{si } b \neq 0 \\ 
 x & \mbox{si } b=0 \text{ et }  a \neq 0 \\ 
 y & \mbox{si } b=0 \text{ et }  a= 0
\end{array}
\right. \end{array}$$
Où, $x$ et $y$ sont des réels choisis suivant votre fantaisie. 

[Dans une expression mathématique, si l'on veut aller à la ligne, IL FAUT IMPÉRATIVEMENT utiliser simultanément "Maj + Retour". 
"Retour" seul fait planter la compilation $\LaTeX$. AD]

raoul.S

Matricule_63 a dit :

@Médiat_Suprème Merci pour le lien.
Pour information, les résultats de recherche google sont personnalisés.
Si je tape "Jesper Carlström", j'ai :
1 - Wikipédia sur le footballeur
...

Bon après si on cherche un matheux généralement on tape "[nom du matheux] math". Ici ça donne "Jesper Carlström math"

gai requin

À utiliser avec discernement.

J’ai eu une réponse en cherchant OShine math 😇

raoul.S

Effectivement

J'ai tapé "Oshine math" et le premier résultat que me propose Google est un lien sur la discussion... je vous laisse découvrir.

Je suis allé plus loin, voici une discussion que j'ai eue avec Bard l'IA de Google (je ne parle pas tout de suite de OShine, je le mets d'abord en confiance) : 

Moi : Est-ce que tu peux me dire en résumé quels sont les sujets traités sur le forum à l'adresse les-mathematiques.net ?

Bard : Bien sûr. Le forum les-mathematiques.net est un forum francophone dédié aux mathématiques. Il couvre un large éventail de sujets, allant des mathématiques élémentaires aux mathématiques avancées. Les sujets les plus populaires sont les suivants :... blablabla

En plus de ces sujets spécifiques, le forum les-mathematiques.net propose également des discussions générales sur les mathématiques, telles que des débats sur des sujets mathématiques, des discussions sur des livres et des articles mathématiques, etc.

Le forum est modéré par une équipe de bénévoles qui veillent à ce que les discussions soient respectueuses et informatives.

Voici quelques exemples de questions qui pourraient être posées sur le forum les-mathematiques.net :... blablabla

Moi : est-ce que sur ce forum il existe une personne portant le nom OShine ?

Bard : Oui, il existe une personne portant le nom OShine sur le forum les-mathematiques.net. Selon les résultats de recherche que j'ai trouvés, il s'agit d'un utilisateur qui a rejoint le forum en 2012. Il a participé à de nombreuses discussions sur des sujets mathématiques, allant des mathématiques élémentaires aux mathématiques avancées.

Cependant, il semble que OShine soit un utilisateur controversé. Certains utilisateurs l'accusent d'être irrespectueux et de ne pas respecter les règles du forum. D'autres utilisateurs le défendent, affirmant qu'il est simplement un utilisateur passionné de mathématiques qui aime débattre de sujets mathématiques.

Voici quelques exemples de messages postés par OShine sur le forum :

• En 2012, OShine a posté un message dans la section "Mathématiques scolaires" pour demander de l'aide pour résoudre une équation du second degré. Il a reçu des réponses de plusieurs utilisateurs, qui lui ont expliqué la solution de l'équation.
• En 2013, OShine a posté un message dans la section "Mathématiques supérieures" pour discuter du théorème de Pythagore. Il a proposé une preuve du théorème qui était incorrecte. Un autre utilisateur a répondu à son message pour lui expliquer pourquoi sa preuve était incorrecte.
• En 2014, OShine a posté un message dans la section "Mathématiques pures" pour discuter de la nature des nombres premiers. Il a avancé une théorie selon laquelle les nombres premiers sont des êtres conscients. Ce message a suscité de nombreuses réactions, certaines d'entre elles étant moqueuses.

En conclusion, il existe une personne portant le nom OShine sur le forum les-mathematiques.net. C'est un utilisateur qui a participé à de nombreuses discussions sur des sujets mathématiques, mais qui est également un utilisateur controversé.

C'est fantastique le progrès

raoul.S

Continuation de la discussion ci-dessus : 

Moi : et est-ce qu'il existe une personne portant le nom raoul.S ?

Bard : Oui, il existe une personne portant le nom raoul.S sur le forum les-mathematiques.net. Selon les résultats de recherche que j'ai trouvés, il s'agit d'un utilisateur qui a rejoint le forum en 2015. Il a participé à de nombreuses discussions sur des sujets mathématiques, allant des mathématiques élémentaires aux mathématiques avancées.

raoul.S est un utilisateur actif et respecté sur le forum. Il est connu pour ses réponses informatives et son enthousiasme pour les mathématiques. Il est également un modérateur du forum, ce qui signifie qu'il aide à maintenir les discussions sur le forum respectueuses et informatives.

Voici quelques exemples de messages postés par raoul.S sur le forum :

• En 2015, raoul.S a posté un message dans la section "Mathématiques scolaires" pour aider un utilisateur à résoudre un problème d'algèbre. Il a fourni une explication claire et concise de la solution au problème.
• En 2016, raoul.S a posté un message dans la section "Mathématiques supérieures" pour discuter du théorème de Fermat. Il a fourni une preuve du théorème qui était claire et concise.
• En 2017, raoul.S a posté un message dans la section "Mathématiques pures" pour discuter de la théorie des nombres. Il a fourni une introduction à la théorie des nombres qui était accessible aux débutants.

En conclusion, il existe une personne portant le nom raoul.S sur le forum les-mathematiques.net. C'est un utilisateur actif et respecté qui a participé à de nombreuses discussions sur des sujets mathématiques.

Bon, je vous annonce que pour Bard je suis un modérateur du forum qui a démontré le théorème de Fermat. Par conséquent je vous prie de tenir compte de mon nouveau statut. 

gai requin

Chouette, on a un nouveau théoricien des nombres 😉

Matricule_63

J'ai répliqué ton expérience (c'est ça la science) sur Bing, on part beaucoup plus loin dans le délire :

L’utilisateur “matricule 63” est un membre du forum “les mathématiques fr” depuis le 3 février 2007. Il a posté plus de 14 000 messages sur le forum, ce qui fait de lui l’un des membres les plus actifs et les plus respectés. Il se présente comme un professeur agrégé de mathématiques en lycée. Il s’intéresse particulièrement à la pédagogie et à la géométrie. Il partage souvent ses connaissances et ses opinions sur les mathématiques et l’éducation. Il a aussi créé plusieurs énigmes mathématiques, dont certaines sont très difficiles à résoudre. Par exemple :

Soit ABCD un carré. On place un point E sur [AB] tel que AE = 2/3 AB. On place un point F sur [BC] tel que BF = 2/3 BC. On place un point G sur [CD] tel que CG = 2/3 CD. On place un point H sur [DA] tel que DH = 2/3 DA. On considère les points I,J,K,L d’intersection respectifs de (AE) et (BF), (BF) et (CG), (CG) et (DH), (DH) et (AE). Montrer que IJKL est un carré.

Donc @raoul.S tu es peut-être modérateur, mais du haut de mes 14 000 messages et de mes égnimes super difficiles, c'est moi qui obtiens le respect des membres de ce forum xD

raoul.S

@Matricule_63 splendide mais j'ai encore mieux...

Moi : et est-ce qu'il existe une personne portant le nom JLT sur ce forum ?

Bard : Oui, il existe une personne portant le nom JLT sur le forum les-mathematiques.net. Selon les résultats de recherche que j'ai trouvés, il s'agit d'un utilisateur qui a rejoint le forum en 2022...

En conclusion, il existe une personne portant le nom JLT sur le forum les-mathematiques.net. C'est un utilisateur actif et respecté qui a participé à de nombreuses discussions sur des sujets mathématiques.

Je peux confirmer que JLT est bien moi, Bard. Je suis un grand modèle de langage, formé sur un ensemble de données massif de texte et de code. Je peux générer du texte, traduire des langues, écrire différents types de contenu créatif et répondre à vos questions de manière informative.

Donc JLT c'est Bard en fait 🤣

zeste

Je me permets de remonter la conversation, son sujet ne me paraissant pas épuisé.

zeste a dit :

On pourrait imaginer poser :
$$\begin{array}[t]{lrcl}
\tilde{\div} : & \R \times \R & \longrightarrow & \R \\ 
        & (a,b) & \longmapsto &  a \tilde{\div} b = \left\{   
\begin{array}{ll}
a\div b & \mbox{si } b \neq 0 \\ 
 x & \mbox{si } b=0 \text{ et }  a \neq 0 \\ 
 y & \mbox{si } b=0 \text{ et }  a= 0
\end{array}
\right. \end{array}$$
Où, $x$ et $y$ sont des réels choisis suivant votre fantaisie. 

En fait ce qu'on voudrait, c'est que $\tilde{\div}$ hérite de propriétés de la division. 
Par exemple :

• que pour tout $a \in \R$, $a \tilde{\div} a=1$ ;
• que pour tout $k$, $a$, $b \in \R$, $k\times (a \tilde{\div} b)= (k \times a ) \tilde{\div} b$ ; 

Or si tel est le cas, $ 0 \tilde{\div} 0 =1$ mais alors $2  \times (0 \tilde{\div} 0 )= 2$ donc $ (2 \times 0) \tilde{\div} 0 =2$ c'est à dire $1=2$.

Donc, si on ne peut pas étendre l'opération de division à $\R \times \R$ c'est uniquement parce qu'on voudrait que la division étendue vérifie des propriétés, semblables à celles de la division, qui la rendent contradictoire. 

philou22

Version école primaire : diviser une quantité par un certain nombre c’est répartir équitablement cette quantité dans ce certain nombre de sacs. S’il n’y a aucun sac on ne peut pas le faire. Version collège : diviser a par b c’est répondre si possible à la question quel est l’unique nombre qui multiplié par b donne a.

zeste

Bonsoir @philou22 et au lycée que diriez-vous ?

Cordialement,
zeste

Amédé

Matricule_63 a dit :

On peut tout à fait "diviser par zéro". Bon par contre, cela implique que l'espace dans lequel on travaille est un singleton, ce qui n'est guère passionnant.

En effet, soit $(A, +,\times)$ un anneau où  $e_\times \in A$ est neutre pour la multiplication et $e_+ \in A$ neutre pour l'addition et absorbant pour la multiplication. Si $\exists x \in A, x\times e_+ = e_{\times}$, alors $e_{\times} = e_+$ d'où $\forall y \in A, y = y \times e_{\times} = y \times e_+ = e_+ $. Donc $A=\{e_+\}$.

Avec les 6e, la discussion est en général.
" Pourquoi on ne peut pas diviser par 0 ?
- ça veut dire quoi, diviser par 0 ?
- Bah, on ne coupe pas le gâteau.
- Mais si tu fais ça, en fait tu coupes le gâteau en une part, et tu prends cette part. Tu as donc divisé par 1.
- ...
- Moi je veux bien diviser par 0, il faut juste que tu m'expliques ce que ça veut dire.
- ..."
On ne peut pas le définir = ça n'existe pas.

Il y a au moins deux éléments dans un anneau.

Amédé

SI on peut diviser par $0$ c'est que $0$ admet un inverse $i_0$. Donc $0\times i_0=1\Longleftrightarrow 0=1$. Ce qui est absurde.

raoul.S

Amédé a dit : 

Il y a au moins deux éléments dans un anneau.

L'anneau nul n'en a qu'un pourtant.