Compacité

M45D

Bonjour, j'espère que vous allez bien. J'ai besoin d'aide pour la résolution de cet exercice où je bloque.
Exercice.

Nous considérons l'espace vectoriel ℝ³.

1. Montrer qu'il existe deux constantes C₁ > 0 et C₂ > 0 telles que pour tout ( x , y , z ) ∈ ℝ³
   C₁ max{ x , y , z } ≤ √ x² + y² + z² ≤ C₂ max{ x , y , z }
   N.B : la racine √ prend en compte x² + y² + z²
2. Quand dit-on qu'un sous-ensemble de ℝ³ est compact ?
3. Soit K un compact de ℝ³ et F un sous-ensemble de ℝ³. On suppose que inf { || x - y || , x ∈ K et y ∈ F } = 0
   (a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ* , il existe xₙ ∈ K et yₙ ∈ F tels que || xₙ - yₙ || < 1/n
   (b) En déduire que K ∩ F ≠ ∅

bisam

N'aurais-tu pas oublié des valeurs absolues à la première question ?

gerard0

Rappel de la charte du forum :

"(!) Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste..."

D'autant que les deux premières questions sont l'une facile, l'autre du cours.
Cordialement.

Heuristique

J'ai peut-être loupé un truc mais j'ai l'impression qu'il est préférable que $F$ soit fermé pour résoudre la question 3b.

Barjovrille

Bonjour, oui il faut $F$ fermé. Sinon contre-exemple dans $\mathbb{R}^3$ on prend $F=B(0,1)$ la boule ouverte unité, et $K=\{x \in \mathbb{R}^3\mid  ||x||=1\}$ la sphère unité (qui est compacte). Alors pour tout $x \in K,\ \inf_{y \in F} ||x-y||=0$, donc $\inf_{(x,y) \in K \times F} ||x-y|| =0$. Mais par définition de $F$ et de $K$, $F \cap K = \emptyset$.

vpf

Bonsoir
J'ai lu beaucoup de choses sur la compacité (définition, propriétés, exemples). J'ai également fait pas mal d'exercices. Mais je reste hermétique au "sens". Que représente la compacité ? Je me suis construit des images mentales pour les fermés, les ouverts, l'adhérence, l'intérieur, les voisinages, les boules, la densité (sachant que les mots sont franchement bien choisis je trouve), mais pour la compacité, je bloque. Dans le dictionnaire, on peut trouver cette définition de l'adjectif compact : "Qui est formé de parties fortement liées, dont les éléments constitutifs sont très rapprochés" et cette définition pour l'adjectif "dense" : "Qui est compact". Hé bien cela ne m'aide pas ;-)
Si vous avez des idées qui pourraient m'éclairer, je suis preneuse !

gerard0

Bonjour.
Les théorèmes classiques sur les compacts donnent l'essentiel de l'intuition nécessaire. La caractérisation séquentielle dit en gros que si on prend, dans un compact, une suite, elle va soit avoir une limite (dans le compact) soit revenir indéfiniment à proximité d'un élément (sous suite convergente). La définition par les ouverts est même assez "concrète", si on sait comment sont les ouverts.

En fait, la notion de fermé n'est pas assez fermée, stricte. Pour la topologie habituelle, $\mathbb R,\ ]-\infty,0]$ et même $\emptyset$ sont des fermés. Mais ce ne sont pas des compacts.

Cordialement.

vpf

gerard0 a dit :

Les théorèmes classiques sur les compacts donnent l'essentiel de l'intuition nécessaire.

Peut-être pour beaucoup, mais pas pour moi... Je n'arrive pas à avoir une vision globale de la compacité. 

gerard0

"une vision globale de la compacité" ?? Je ne sais pas ce que ça pourrait être, en dehors de ce que j'ai dit (ensuite).

Barjovrille

Bonjour, tu peux voir les compacts comme une généralisation des ensembles finis, tu peux vérifier que pour la plupart des topologies tout ensemble fini est compact.

Ensuite il faut regarder les théorèmes/propriétés comme dit gerard0 pour comprendre "l'effet généralisation" que je viens de te donner.

Par exemple première propriété : l'image directe par une fonction d'un ensemble fini est un ensemble fini. Tu peux remplacer ensemble fini par compact et fonction par fonction continue ça passe.

Deuxième exemple (une des propriété les plus intéressantes) : une fonction définie sur un ensemble fini atteint ses bornes. Pareil tu fais le même remplacement ça tient encore.

Troisième exemple : Si t'as une suite a valeur dans un ensemble fini alors tu peux extraire une suite stationnaire (équivalent à convergente si il y a une topologie raisonnable) l'intuition ici c'est qu'il n'y a pas beaucoup de valeurs possibles pour la suite alors que tu dois définir une fonction sur tout $ \mathbb{N}$ (une suite c'est une fonction avec espace de départ $\mathbb{N}$) et donc il y a plein de valeurs qui vont se répéter donc tu pourras faire ton extraction. Ca passe encore avec les compacts et tu peux "extrapoler" l'intuition en disant que dans un compact il n'y a tellement "pas de place" qu'il y aura plein de valeurs proches les unes des autres et donc pour n'importe quelle suite même la plus tordue possible tu peux te débrouiller pour extraire une suite convergente. (Bon attention quand même dans certaines topologies cette propriété n'est plus vérifiée mais ça donne une bonne intuition).

exemple un peu plus abstrait : Si tu connais la définition d'opérateur linéaire compact, c'est la généralisation d'opérateur de rang fini.

L'idée c'est que dans les ensembles finis tout est "facile" (les "propriétés" que j'ai énoncées dans le cas fini sont justes des trivialités). Mais ensemble fini c'est trop restrictif on veut avoir une notion qu'on peut utiliser plus souvent et qui conserve quelques propriétés, alors avec quelques compromis on arrive à la notion de compact.

Il y a aussi une autre interprétation qui rejoint un peu celle de gerard0, il y a une sorte de dualité entre les ouverts et les compacts. En fait dans une topologie moins il y a d'ouvert plus il y a de compacts. Tu peux prendre les deux exemples extrêmes pour voir (on oublie la condition qu'un compact est séparé). Dans la topologie grossière (qui n'a que 2 ouverts) toute partie est compact (en réalité c'est quasi-compact à cause de l'hypothèse séparée). Dans la topologie discrète (toutes les parties sont ouvertes), alors les compacts il n'y en a vraiment pas beaucoup, en fait une partie est compacte si et seulement si elle est finie (tu vois dans cette configuration les deux notions coïncident). 

Ben314159

Salut
Je ne suis pas sûr que ça aide beaucoup M45D vu que c'est de la topologie générale, mais en fait les deux axiomes pour qu'une topologie soit compacte, à savoir la séparation et la propriété de Borel-Lebesgue (i.e. de tout recouvrement d'ouvert . . . ), ça dit précisément qu'il n'y a ni trop, ni trop peu d'ouverts dans ta topologie.   Je m'explique
Un truc évident, c'est que toute topologie plus fine qu'une topologie séparée reste séparée et que toute topologie moins fine qu'une topologie possédant la propriété de Borel-Lebesgue continue à avoir la propriété de Borel-Lebesgue.  Donc ça explique un peu mon "ni trop,  ni trop peu", mais en fait un truc légèrement moins évident, c'est que les topologies compactes c'est vraiment la "frontière" entre les deux propriétés dans le sens suivant. 
Partant d'une topologie compacte, si on rajoute des ouverts (i.e on prend une topologie strictement plus fine) alors on perd obligatoirement la propriété de propriété de Borel-Lebesgue et, si on enlève des ouverts (i.e on prend une topologie strictement moins fine) alors on perd obligatoirement  la séparation.

vpf

Merci, c'est déjà plus clair pour moi. Je comprends mieux ce que j'ai lu (je ne sais plus où), à savoir que la compacité apportait une notion de "finitude". Sur Bibmath, il est écrit "La propriété de Borel-Lebesgue peut s'interpréter qu'un espace compact est "presque fini". Elle permet de faire des raisonnements au voisinage de chaque point, et d'en déduire un résultat global à partir d'un nombre fini de points."
Il faut que je laisse reposer tout ça, et que je retravaille des exercices.

Autre question : au sujet des parties compactes de R. Si je ne dis pas de bêtise, les parties compactes de R sont les parties fermées et bornées. Donc les intervalles fermés bornés sont des parties compactes de R, mais il y en a d'autres. Quelles sont-elles ?

JLapin

$[0,1]\cup [3,4]$ est aussi un compact. Et des "monstres" comme l'ensemble de Cantor également
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor
Difficile de les décrire dans leur ensemble...

Etienne91

Est-ce qu’on ne pourrait pas dire que les parties compactes de $\mathbb{R}$ sont exactement les parties fermées de $\mathbb{R}$ qui sont incluses dans un certain segment borné ? Ce n’est pas forcément très précis mais ça donne quand même une idée