Espace non complet

Bethebesteveryday

Bonjour,
Si E désigne l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [−1, 1] à valeurs réelles, on définit, pour tout f ∈ E, ||f||1 = sup x∈[−1,1]|f(x)|. Nous avons établi en cours que E muni de cette norme est un espace de Banach. On introduit sur E une nouvelle norme notée ||.||2 définie pour tout f ∈ E par ||f||2 = integrale de -1 a 1 |f(x)|dx. Vérifier qu’il s’agit bien d’une norme puis montrer que E muni de cette norme n’est pas complet. On considérera, par exemple, pour n ≥ 2 la suite (fn)n de fonctions définies sur [−1, 1] par fn(x) = 0 si x ∈ [−1, −1/n], fn(x) = 1 si x ∈ [1/n, 1] et sur [−1/n, 1/n] on prendra la fonction affine qui assure la continuité en −1/n et en 1/n.
S'il vous plait, pourriez-vous me donner des indices pour trouver un absurde une contradiction que la suite fn ne converge pas .. ?
Merci d'avance.

Izolg

La suite $(f_n)_n$ est de Cauchy, par l'absurde soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1])$ sa limite. (ie $\Vert f_n - f\Vert_2 \to 0$).

On pourrait par exemple montrer que $f(x)>3/4$ sur $]0,1]$ et $f(x)<1/4$ sur $[-1,0[$ ceci sera une contradiction car $f$ est supposée continue en $0$.

Pour faire ça supposer par l'absurde que $f(x_0)\leq 3/4$ pour $x_0\in ]0,1[$ etc... (penser à utiliser le théorème de Heine par exemple...)

Bethebesteveryday

Pourquoi elle est de Cauchy ?

Bethebesteveryday

Comment vous avez trouvé le 3/4 ?

Izolg

1- le but c'est de montrer que l'espace n'est pas complet, ton énoncé va te donner une suite de Cauchy qui n'a pas de limite, à toi de vérifier qu'elle est de Cauchy, et qu'elle est n'a pas de limite

2- La valeur exacte n'a aucune importance, tu peux prendre autre chose si tu préfères.

(fait un dessin pour comprendre le problème...)

Izolg

Autre stratégie pour la contradiction : regarder la valeur de $f(0)$ et utiliser le fait que $f$ est continue en $0$.

Bethebesteveryday

Je n'arrive pas à voir pourquoi elle est de Cauchy déjà ; j'ai essayé de majorer |(fn-fp)(x)| mais ça n'a pas donné un epsilon ..

Bethebesteveryday

Izolg a dit :

Autre stratégie pour la contradiction : regarder la valeur de $f(0)$ et utiliser le fait que $f$ est continue en $0$.

Oui merci !

Izolg

Tu as fait un dessin de $f_n$ et de $f_p$ ?

Bethebesteveryday

Non , j'estimais que ce n'est pas évident 

Izolg

Une fois que tu as dessiné le graphe de $f_n$ et que tu arrives à visualiser comment il évolue quand $n$ varie, tu devrais trouver assez facilement la solution.