Processus d'Itô — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Processus d'Itô

Bonjour, j'aurais une question à propos d'un exercice s'il vous plaît.
Voici l'exercice.
Exercice 3.2.6 Formule d'Itô. Soit $Y_{t}=\int_{0}^{t} e^{s} d B_{s}$ et $Z_{t}=\int_{0}^{t} Y_{s} d B_{s}$.
1. Écrire l'EDS vérifiée par $Z_{t}$.
2. Calculer $E\left(Z_{t}\right), E\left(Z_{t}^{2}\right)$ et $E\left(Z_{t} Z_{s}\right)$.
Pour la 1), on montre simplement que $Y_{t}$ est la dérivée de $Z_{t}$ par rapport à $B_{t}$.
2. Après on a $E\left(Z_{t}\right)=0$ car  $Z_{t}$ est une martingale.
Mais pour,  $E\left(Z_{t}^{2}\right)$ je sais que le résultat est $E\left(\int_{0}^{t} Y_{s}^{2} d s\right)$. Mais je ne comprends pas pourquoi. On sait que $Y_{t}$ est une loi normale centrée ainsi on a que $E\left(Y_{s}^{2}\right)=\int_{0}^{t} e^{2 s} ds$. Je pense que cela peut servir.
Merci d'avance pour votre réponse.
Mots clés:

Réponses

  • Modifié (October 2023)
    Bonjour, ça s'appelle l'isométrie d'Ito, mais je ne sais pas si tu as le droit d'utiliser directement la propriété. Normalement si vous avez construit l'intégrale contre un brownien dans votre cours je pense que oui. Mais vu l'enchainement des questions de l'exercice j'ai un doute et je ne suis pas spécialiste. Comment tu as obtenu  $E\left(Y_{s}^{2}\right)=\int_{0}^{t} e^{2 s} ds$ ?
  • Modifié (October 2023)
    Bonjour, 
    oui évidemment j'ai oublié de penser à l'isométrie d'Ito ! Merci !

    Pour $E\left(\int_{0}^{t} Y_{s}^{2} d s\right)$, j'ai utilisé le fait que $Y_{t}$ est une loi normale centrée de variance $\int_{0}^{t} e^{2s} ds$.
    Ainsi $E\left( Y_{s}^{2} \right)$ est la variance de $Y_{t}$.

    Merci de ta réponse si rapide.
  • Modifié (October 2023)
    Parce que la version différentielle est + easy plus facile à manipuler, $dY_t = e^t dB_t$. Si on se lance dans le calcul de la variance $\mathbb{E}(dY_t^2)$, on a besoin d'expliciter $dY_t^2 = e^{2t} dB_t \, dB_t$. Or, $dB_t \, dB_t = dt$ pour le processus de Weiner / brownien, débouchant sur la formule pour l'isométrie d'Itô.
    [Merci d'écrire tous les mots et en français. AD]
  • Modifié (October 2023)
    En fait, j'ai un doute,  l'isométrie d'Ito est vraie sur l'espace des processus $X_{t}$ qui vérifie  $E(\int_{0}^{\infty} X_{s}^{2} ds)$ ? 
    Dans mon exercice, $Y_{t}$ ne vérifie pas ça je crois ?
  • Il faut bien vérifier quelque chose pour appliquer l'isométrie mais ce qu'il faut vérifier c'est que $(Y_t)_t$ est un processus adapté (à la filtration) et pour tout $t$,  $E( \int_0^t Y_s^2 ds)< \infty$. Alors tu pourras utiliser l'isométrie pour calculer $E(Z_t^2)$ pour tout $t$.
    Pour vérifier si $E( \int_0^t Y_s^2 ds)< \infty$ tu peux utiliser Fubini-Tonelli, vois tu comment ? 
  • Oui, $Y_{t}^{2}$ est toujours positif donc d'après Fubini-Tonelli, on peut inverser $E$ et l'intégrale. Comme $E(Y_{2}^{2})$ est continue alors l'intégrale sur [0,t] est bien finie.
  • @Area 51 Je ne comprends pas où tu veux en venir. Je suis d'accord pour l'expression de $(dY_{t})^{2}$ mais je ne vois pas la suite.
  • Modifié (October 2023)
    Oui c'est ça (attention à ne pas oublier de vérifier l'hypothèse sigma finie des espaces mesure), et plutôt que de dire que $t \mapsto E(Y_t^2)$ est continue c'est plus clair d'utiliser l'égalité que tu as énoncée plus haut $E\left(Y_{t}^{2}\right)=\int_{0}^{t} e^{2 s} ds$ pour dire que le tout est fini.
  • Oui évidemment. 
    Merci pour tes réponses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!