Lemme EDO

Hob___
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour,
j'ai trouvé l'énoncé suivant dans un résumé de cours. Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?

Soit $x'=f(x)$ une équation différentielle scalaire autonome admettant $c$ comme solution constante.
Soit $(I,x)$ une autre solution de l'équation $x'=f(x)$ telle que $x(t_0)=x_0$.

1) Si $x_0>c$, alors $x(t)>c$ sur $I$. Si $x_0<c$, alors $x(t)<c$ sur $I$.
2) Si $f(x_0)>0$, alors $x$ croissante sur $I$. Si $f(x_0)<0$, alors $x$ décroissante sur $I$.

J'imagine que le point 1) procède de l'unicité de Cauchy-Lipschitz, mais pour le point 2) je ne vois pas.

Réponses

  • Bibix
    Modifié (October 2023)
    Bonjour,
    Si $f$ est continue et $f(x_0) > 0$, alors $f(x(t)) > 0$ pour tout $t \in I$ car sinon, on aurait $t_0 \in I$ tel que $f(x(t_0)) = 0$ (par le TVI) et $x_0 < x(t_0)$ donc d'après la 1), $x(t_0) < x(t_0)$. Si $f$ est quelconque, on doit pouvoir trouver un contre-exemple.
  • Hob___
    Modifié (October 2023)
    Merci. On suppose en effet $f$ continue.

    Je ne suis pas sûr de comprendre la réutilisation des termes $t_0$ et $x_0$. En effet, si on suppose qu'il existe $x_1$ tel que $f(x_1)<0$, par TVI il existe $x_2$ tel que $f(x_2)=0$. On a donc $x_2$ solution constante de $x'=f(x)$ et satisfaisant naturellement la condition initiale $x(t_0)=x_2$. On a donc $c$ et $x_2$ solutions constantes satisfaisant les conditions initiales respectives $x(t_0)=c$ et $x(t_0)=x_2$, mais après ?
  • john_john
    Modifié (October 2023)
    Si l'EDO satisfait localement en tout point les conditions du thm de Cauchy-Lipschitz, une solution maximale dont la dérivée s'annule en un point $x_0$ est constante puisqu'elle coïncide en $x_0$ avec la solution constante $x\mapsto f(x_0)$. Les deux assertons s'ensuivent alors.
  • Bibix
    Modifié (October 2023)
    @Hob___ Oui pardon, j'aurais dû mettre $t_1$ à la place de $t_0$. Tu as $x_0 < x(t_1)$ et $x(t_1)$ solution constante de $x'=f(x)$ donc $x(t) < x(t_1)$ pour tout $t \in I$, et donc $x(t_1) < x(t_1)$.
  • Je viens de corriger mon message de 14h24 ; je ne voulais pas écrire $x\mapsto x_0$ !!
  • Je crois que j'ai compris ! Merci à vous.
  • De rien, Hob__
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