Si A et B commutent, alors exp(A+B) = exp(A).exp(B)

Bethebesteveryday

Bonjour,
sur la démonstration, on a appelé au théorème de Fubini et je n'ai pas compris son application (la décomposition surtout), pourriez-vous m'aider à le comprendre à ce propos ?
La démonstration est faite sur la page 2.
Merci beaucoup d'avance

Izolg

La famille $\left(\frac{A^kB^l}{k!l!}\right)_{k,l\geq 0}$ est sommable (prendre une norme d'algèbre et majorer).

On fait de la sommation par paquets :

d'une part : $\sum_{k,l\geq 0}\frac{A^kB^l}{k!l!} = \sum_{k\geq 0} \frac{A^k}{k!}\sum_{l\geq 0} \frac{B^l}{l!}= \exp(A)\exp(B)$ (cette sommation par paquets aussi appelée théorème de Fubini).

d'autre part : $\sum_{k,l\geq 0}\frac{A^kB^l}{k!l!} = \sum_{m=0}^\infty \sum_{k,l\geq 0 \text{ tq }k+l=m}\frac{A^kB^l}{k!l!} = \sum_{m=0}^\infty \sum_{k=0}^m\frac{A^kB^{m-k}}{k!(m-k)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(A+B)^m}{m!}=\exp(A+B)$.

(dans l'avant dernière inégalité on a utilisé la formule $(A+B)^m =\sum_{k=0}^m \frac{m!}{k!(m-k)!}A^kB^{m-k}$ qui est vraie car $A$ et $B$ commutent).

Mais ce qui n'est pas clair c'est peut-être ce qu'est le théorème de sommation par paquets ?

Bethebesteveryday

Izolg
Oui c'est ça.
Pour la 1ère partie , on a cette sommation par paquets parce que les deux séries convergent normalement ?
Pour la 2ème , je n'ai pas compris pourquoi on a rajouté une autre somme qui dépend de m , par quelle raison ?
Pour la 3ème , pourquoi la formule du binôme de Newton n'est pas vraie pour A et B non commutatives ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

JLapin

Pour la deuxième somme, tu fais des paquets selon la valeur de k+l, valeur que tu appelles m dans ton calcul.

Pour la troisième, il y a des contre exemples, par exemple pour m=2 dès que les matrices ne commutent pas.

Izolg

Est-ce que tu as eu un cours (ou est-ce que tu as des connaissances) sur les familles sommables ou pas du tout ?

Le théorème de sommation par paquets dit essentiellement la chose suivante : si $I=\sqcup_{m\in \mathbb{N}}I_m$ alors $\sum_{i\in I}u_i = \sum_{m\in \mathbb{N}}\sum_{i\in I_m}u_i$. Autrement dit on peut calculer une somme en réorganisant les termes comme bon nous semble. La seule hypothèse du théorème est que $(u_i)_{i\in I}$ doit être une famille sommable dans un espace de Banach (espace normé complet). C'est pourquoi je demande si tu as vu ce que c'est qu'une famille sommable.

Par exemple, pour répondre à ta deuxième question, on prend $I=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ et $I_m=\{(k,l)\in I\ |\ k+l=m\}$.

Bethebesteveryday

Izolg
Non , je n'ai pas étudié ce théorème de sommation par paquets.

[Combien de fois faudra-t-il te répéter qu'il est inutile de reproduire le message précédent ! 😠 AD]

Chaurien

Autre démonstration.

Pour $A \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$, $p\in \mathbb{N}^{\ast }$, on considère l'application  $t\mapsto \exp (tA)=e^{tA}$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$. 

Juste avec la définition, on montre que sa dérivée est :  $\frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A$.

Si  $A \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$, $B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$, $AB=BA$, alors l'application   $t\mapsto e^{t(A+B)}e^{-tB}e^{-tA}$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$, a sa dérivée nulle, et elle est donc constante sur $\mathbb{R}$.

Il en résulte : $e^{A+B}e^{-B}e^{-A}=I_{p}$ et par suite  $e^A \in GL_p(\mathbb{C})$ et $e^{-A}=(e^{A})^{-1}$, etc.

Bonne journée.

Fr. Ch.